[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第16讲 圆幂定理

第16讲 圆幂定理 赛点扫描 处理圆中比例线段的问题,通常用到圆幂定理,圆幂定理是初中几何中最重要的定理之一. 相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理. 1. 相交弦定理 如果圆内两条弦AB和CD相交于点P(如图16-1(1)所示),那么 2. 割线定理 如果从圆外一点P向圆引割线PAB和PCD(如图16-1(2)所示),那么[来源:学科网ZXXK] 3. 切割线定理 如果从圆外一点P向圆引割线PAB和切线PC(如图16-1(3)所示),那么 实际上,可以把切割线定理看做是割线定理的极限情形,于是上述结论可以合并为: 如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D,那么就有 这里P、A、B及P、C、D分别共线. 赛题解密 例1 (全国初中数学联赛题)如图16-2所示,在□ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于点E,且与CD相切,若AB=4,BE=5,则DE的长为( ) A. 3 B. 4 C. D. 【解密】连结AC、CE,由条件可得许多等线段,为切割线定理的运用创设条件.【解】选D. AC=BE=5,又∠BAC=∠ACD=∠ABC,则AC=BC=AD=5,DC=AB=4,故DE= . 例2 (2004年天津竞赛题)如图16-3所示,在等腰△ABC中,O为底边BC的中点,以O为圆心作半圆与AB、AC相切,切点分别为D、E. 过半圆上一点F作半圆的切线,分别交AB、AC于M、N. 那么 的值等于( ) A. B. C. D. 1 【解密】分别从M、N点看,可运用切线长定理,作出相应辅助线,探寻△BMO与△CNO的关系是关键. 【解】选B. 连结OD、OM、OF、ON、OE,则△MBO∽△OCN, ,得BM · CN=OC · OB= BC2. 例3 (2000年全国初中数学联赛题)如图16-4所示,已知ABCD是一个半径为R的圆的内接四边形,AB=12,CD=6,分别延长AB和DC,他们相交于P,且BP=8,∠APD=60°,则R等于( ) A. 10 B. C. D. 14 【解密】题目要求求R,而R到底在图中是谁呢?我们可以假设AD为直径,即AD=2R,如果是这样,则有AC⊥PD,而∠APD=60°,则得PC= AP=10,是不是这样呢?用切割线定理确实可求得PC=10. 【解】由切割线定理得: 根据条件得 ,解得PC=10. 连结AC,在△PAC