[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第14讲 圆的基本性质

第14讲 圆的基本性质 赛点扫描 圆是一种“完美”的图形,其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心对称图形,而且体现在它的旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与自身重合. 由圆的对称性引出了许多重要的定理:垂径定理及推论:在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论.这些性质在计算和证明等方面有广泛的应用,一般是通过作辅助线构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形相结合. 熟悉以下基本图形,基本结论: 赛题解密 例1)如图14-1所示,在3个等圆上各有一条劣弧 , , .如果 ,那么,AB+CD与EF的大小关系是( ) A. AB+CD=EF B. AB+CD>EF C. AB+CD<EF D. AB+CD与EF的大小关系不能确定 图14-1 图14-2 【解密】 比较线段长度的大小关系,应该在同一个图中进行.于是我们可以将AB移到EF所在的圆上,使A与E重合,再将CD移到EF所在的圆上,使C与B重合,显然F与D重合,从而易得AB+CD>EF,如图14-2所示. 【解】选B. 例2如图14-3所示,用3个边长为1的正方形组成一个对称图形,则能将其完全覆盖的圆的最小半径为 ( ) A. B. C. D. 图14-3 【解密】 所作最小圆的圆心应在对称轴上,且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点,通过设未知数求解. 【解】由已知可判定圆心O在AB上,设OB=a,圆的最小半径为r,[来源:学_科_网] 由勾股定理,得 解得 故选D. 【探秘】圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,本题三个正方形组成的图形也是一个轴对称图形.因此,圆心O应在它的对称轴上,圆上各点到圆心的距离相等. 例3 (2005年全国初中数学竞赛题)如图14-4所示,已知点I是锐角三角形ABC的内心,A1、B1、C1分别是点I关于边BC,CA,AB的对称点.若点B在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解密】 由题意可知:IA1=IB1=IC1,即点I是△A1B1C1的外心,再借助圆的对称性和有关性质可求得∠ABC的值. 【解】 因为IA1=IB1=IC1=2r(r为△ABC的内切圆半径), 所以点I同时在△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC的交点为D, 则IB=IA1=2ID,所以∠IBD=30°