[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第11讲 一元二次不等式

第11讲 一元二次不等式 赛点扫描 形如ax2+bx+c>0(或<0或≥0或≤0),其中a≠0的不等式叫做一元二次不等式,满足不等式的x的值构成的集合叫做一元二次不等式的解。 求解一元二次不等式,常常用到下面的基本结论: AB>0 A> 0且B> 0或A< 0 且B< 0; AB≥0 A≥0且B≥0或A≤0且B≤0; AB<0 A> 0且B< 0或A< 0 且B> 0; AB≤0 A≥ 0且B≤0或A≤0且B≥0. 于是,常运用因式分解将ax2+bx+c转化成AB的形式. 赛题解密 例1 (江苏省竞赛题)已知x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根;x2+(6-a)x+6-b=0有两个不相等的实数根;x2+(4-a)x+5-b=0没有实数根,则a、b的取值范围是() A.2<a<4,2<b<5 B.1<a<4,2<b<5[来源:Z#xx#k.Com] C.1<a<4,1<b<5 D.2<a<4,1<b<5 【解密】 由判别式得到一个含等式、不等式的混合组,解题的关键是整体代入消元。 【解】 由题意,得 a2-4(3-b)>0, (6-a)2-4(6-b)=0, (4-a)2-4(5-b)<0, 即 a2+4b-12>0, a2-12a+12= -4b, a2-8a-4+4b<0. 消去b,得 2<a<4. 由4b=-(a-6)2+24,得8<4b<20,所以2<b<5 .故选A 【探秘】 例2 解关于x的不等式: ax2-(a+1)x+1<0 【解密】 注意a的讨论,利用分解,适当讨论。 【解】 (1)a=0时,原不等式为-x+1<0,即x>1. (2)当a≠0时,原不等式化为(ax-1)(x-1)<0, 即 a(x- )(x-1)<0 若a>0,则(x- )(x-1)<0.当a>1时, <x<1; 当a<1时,1<x< ;当a=1时,不等式无解. 若a<0,则(x- )(x-1)>0,得x< 或x>1.所以,a=0时不等式解为x>1;a>1时,不等式为 <x<1;0<a<1时不等式解为1<x< ;a=1时不等式无解;a<0时不等式的解为x< 或x>1. 【探秘】 例3(全国初中数学联赛题)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数. 【解密】设前后两个二位数分别为x, y,则有(x+y)2=100x+y,将此方程