[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第10讲 二次函数的最值 (2份打包)

第10讲 二次函数的最值 赛点扫描 二次函数的最大值与最小值是数学竞赛中的重要内容. 对二次函数y=f(x)= = （a＞0） （1）在﹣∞<x<+∞上，函数只有最小值 ，且当 时取得，而无最大值. （2）在﹣∞<x≤m上，当 时，函数有最小值y=f(m)；当 时，函数有最小值y=f( ). 在m≤x＜+∞上，当当 时，函数有最小值y=f(m)；当 时，函数有最小值y=f( ). （3）在m≤x≤n上，当 ，函数有最大值y=f(m)，最小值y=f(n)；当 时，函数有最小值y=f( )，最大值为f(m) 与f(n)中最大值；当 时，函数有最大值y=f(n)，最小值y=f(m). 对于a<0，可以仿照上述讨论.得到二次函数y= 在所给区间上有最大值、最小值.实际上，只要以一y替代y，就能得到相关结沦. 赛题解密 例1.(2005年河北省竞赛题)已知某商品涨价二成((1成即10%)后，销量将减少 成.若要获得最大的营业额，则需涨价( )成. A.1 B.2 C.3 D.4 例2. (2006年全国初中数学竞赛题)已知a、b、c为整数，且a+b=2006，c-a=2005.若a<b，则a+b+c的最大值为 [来源:Zxxk.Com] 例3. (1)(希望杯竞赛题)已知x，y，z为实数，且x+2y-z=6，x-y+2z=3，那么 的最小值是 . (2)(江苏省竞赛题)实数x，y满足 ，则 的最大值是 . 例4.(199年全国初中数学联赛题)设x为正实数，则函数 的最小值是 . 例5. (2003年全国竞赛题)已知二次函数y= (其中a是正整数)的图像经过点A(-1, 4)与点B(2, 1)，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 . 例6. (重庆市竞赛题)甲、乙两个蔬菜基地，分别向A, B, C三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供45吨，向B提供75吨，向C提供40吨.甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨.甲、乙与A,B,C的距离千米数如表，设运费为1元/(千米·吨).问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值. 例7.(2001年江苏省竞赛题)设x1，x2是方程 的两个实根，当m为何值时. 有最小值?并求出这个最小值. 例8. (1997年太原市初中数学竞赛题)对于x的二次三项式 (a＞0)， （1）当c<0时，求函数y= 的最大值. （2）若不论k为任何实数，直线 与抛物线 有且只有1个公共点，求a、b、c的值. 例9. (1994年江苏省初中数学竞赛题)方程 有一根不大于-1，另一根不小于1. （1）求m的取值范围； （2）求方程两根平方和的最大值与最小值. 例10. (1)(第20届香港中学竞赛题)设xr，xr+1，….，xr+k（k>r）为k-r+1个互不相同的正整数，且xr+xr+1+….+xr+k=2003，求k的最大可能值. (2) (2005年全国初中数学联赛题)a,，b，c为正整数，且 ，求c的最小值.[来源:学§科§网Z§X§X§K] 例11. (1)(全国初中数学联赛题)设a, b实数，求代数式 的最小值. (2) (2004年全国初中数学竞赛题)实数x，y，z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，求z的最大值. 例12. (2005年全国初中数学竞赛题)已知x1，x2，….，x40 都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若 的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于多少？ 赛场演练 1. (1997年陕西省竞赛题)函数 的最小值为（ ） A.不存在 B. 0 C.1 D. 2 2. (1998年数学新蕾竞赛题)若x，y都是实数，则 的最小值是（ ） A.1995 B.1996 C.1997 D. 1998 3. (1997年荆州市竞赛题)设x≥0，y≥0，2x+y=6，则a= 的最大值是（ ） A. B.20 C.18 D. 不存在 4. (1997年天津市竞赛题)若a, h, c, d是乘积为1的四个正数，则代数式 的最小值是（ ） A.0 B. 4 C.8 D. 10 5. (1997年太原市竞赛题)已知 ，且2x+y=1，则 的最小值是（ ） A. B.3 C. D. 13 6. (黄冈市竞赛题)正实数x、y满足xy=1,那么 的最小值是（ ） A. B. C.1 D. E. 7. (第15届江苏省竞赛题)多项式 的最小值是