[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第09讲 抛物线的平移

第9讲抛物线的平移、翻折、旋转 赛点扫描 类似平面几何,在直角坐标系中,我们可以对抛物线实施平移、翻折与旋转等变换.抛物线在变换中,开口大小未变,只是位置或开口方向发生改变。解与此相关问题的关是:确定变换前后顶点坐标及开口方向。[来源:学科网ZXXK] 赛题解密 例1一抛物线向右平移3个单位,再向下平移2个单位后得抛物线y=-2x2+4x,则平移前抛物线的解析式为_. 【解密】逆向思考,抛物线y=-2x2+4x向上平移2个单位,再向左平移3个单位即得原抛物线, 【解】原抛物线的顶点为(1-3,2+2),即(-2,4),故其解析式为y=-2( 2)2+4=-2x2-8x-4. 例2(1993年太原市初中数学竟赛题)抛物线v=ax2+bx+c关于直线x=m对称的曲线与x轴的交点坐标是_.[来源:学科网] 【解密】如果抛物线y与y′关于直线x=m对称,则y和x轴的交点与y′和x轴的交点也必关于直线x=m对称,也即关于点(m,0)对称。 【解】抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为 =, 设抛物线y=ax2+ax+c关于直线x=m对称的曲线与x轴的交点坐标为(x′,0),则 与(x',0)关于直线x=m对称,当然这两点也关于点(m,0)对称,所以利用中点坐标公式得m= 解得x'= , 故抛物线y=ax2+ax+c关于直线x=m对称的曲线与x轴的交点坐标是( ,0)与( ,0) 例3(2006年大连市中考题)如图9-1所示,抛物线E:y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于M点,抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。 (1)求抛物线F的解析式 (2)在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N,使不以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由。 (3)若将抛物线E的解析式改为y=ax2+bx+c,试探索问题(2). 【解密】对(1),先求出变换前后抛物线的顶点坐标,或运用y轴对称性质:“纵坐标不变,横坐标互为相反数”;对于(2),通过计算说明MN(AC即可。 【解】(1)抛物线F的解析式为:y=(-x)2+4(-x)+3=x2-4x+3. (2)①若N在E上,令y=3,3=x2+4x+3,解得x1=4,x2=0(舍去), ∴N(-4,3), ∵MN=|0-(-4)|=4,AC=|-3-1|=4. ∴MV(AC, ∴