[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第08讲 二次函数的应用

第08讲 二次函数的应用 赛点扫描 二次函数的应用一般包括两方面: 一是基础知识的应用,指的是将生活实际,工农业生产和国防科技等方面简单的应用问题,转化为二次函数问题,并运用相关知识解决。 二是二次函数最值得应用,在生活实际中,常常要解决最大、最小、最省、最合算等问题。如果这些问题与二次函数相关,那么首先就要选择恰当的自变量,列出二次函数解析式,再把这些实际问题转化为二次函书的最值问题。 赛题解密 例1(2005年全国初中数学联赛题)已知二次函数 的图像如图8-1所示,记 ,则 ( ) A. B. C. D. 大小关系不能确定 【解密】从图像中获得信息 的值是解本例的关键。 【解】选C 得 又 例2(2006年全国初中数学竞赛题)Rt△ABC的三个顶点A、B、C均在抛物线 上,并且斜边AB平行于 轴,若斜边上的高h,则 ( ) A. B. C. D. 【解密】在抛物线 上的点的坐标可设为 这种形式,这样能充分利用点在抛物线上这一特征,简化解题过程。 【解】设点A的坐标为 ,点C的坐标为 ,则点B的坐标为 ,由勾股定理,得 [来源:学科网] 所以 由于 ,所以 ,故斜边AB上的高 故选B. 【探秘】1.代数问题与几何问题是可以相互转化的,在一定条件下,几何问题可以转化为代数问题,代数问题也可以转化为几何问题,这就是转化法。 2.点 在函数 的图像上,则有 。特别地,点P在函数 的图像上,则可设点P的坐标为 . 例3(江苏省竞赛题)某产品每台的成本价格是120元,试销阶段,每台产品的售价 (元)与产品的日销量 (台)之间的关系如下表: (元) 130 150 160 (台) 70 30 35 若日销量的台数 是销售价 的一次函数,为获得最大的销售利润,每台产品的销售价应定为多少元?此时每日的销售利润是多少?(销售利润=销售价—成本价) 【解密】由表格中售价 (元)与产品的日销量 (台)之间的关系,可选两队数据解二元一次方程组,得出 关于 的一次函数,进而可得销售利润关于 的二次函数,从而不难确定销售价为多少时可获得最大利润。 【解】设 ,于是得 [来源:学科网] 解得 ,显然 . 日销售利润 [来源:学*科*网] 故当销售价为每台160元时,最大利润为1600元。 【探秘】在现实生活中,诸如周长最小、面积最大、材料最省、效益最好等等,往往可以通过建立适当的函数关系式,通