[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第07讲 二次函数

第07讲 二次函数 赛点扫描 二次函数是竞赛中的重点内容。 二次函数的解析式常用的有三种形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:y=a(x一h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点坐标; (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)( a≠0),其中(x1,x2)是抛物线与x轴交点的横坐标. 这一讲中,我们主要研究2个主要问题: (1)已知二次函数的解析式,研究它的图像和性质; (2)已知二次函数的图像或某些性质,求它的解析式. 赛题解密 例1 (1994年上海市普陀区竞赛题)二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-1,12)、(2,-3)、(0,5),那么a+b+c的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 【解密】 【解】 例2 (1997年陕西省初中数学联赛题)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则S=a+b+c的值的变化范围是() A.0<S<1 B.0<S<2 C.1<S<2 D.-1<S<1 【解密】 【解】 例3 (1993年河北省初中数学竞赛题)设a,m,n均为常数且a≠0,则二次函数y=a(x+m)(x+n)与一次函数y=ax+mn在同一坐标系中的图像位置关系只可能是下面4个图中的() 【解密】 题目涉及3个参数a,m,n的符号,比较复杂,必须分类讨论,逐步排除不符合条件的选项。 【解】 因为a的符号决定二次函数y=a(x+m)(x+n)的开口方向,决定y=ax+mn 是递增还是递减,所以我们先讨论d的符号, 当a>0时,amn与mn(imn≠0)的符号相同,直线与抛物线在y轴上的截距同正或同负或都经过原点。注意到此时抛物线开口向上,一次函数是递增的,所以B、C、D都不符合要求. 当a< 0时,amn与mn(mn≠0)的符号相反,直线与抛物线在y轴上的截距一个为正,一个为负.注意到抛物线开口向下,一次函数是递减的,这时A、B、C、D都不符合要求.即使mn=0,A、B、C、D也都不符合要求.[来源:学#科#网] 所以只有a>0,mn≠0时,A正确,故选A. 例4 (2002年全国联赛题)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图7-1所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+6|-|2a-b|,则()[来源:学§科§网Z§X§X§K]