[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第06讲 完全平方数与配方法

第06讲 完全平方数与配方法 赛点扫描 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方或者几个完全平方式的和的形式,这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性,是挖掘隐含条件的有力工具;配方法的实质在于改变式子的原有结构,是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”,“拆”与“添”是配方法中常用的技巧,熟悉以下基本等式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 赛题解密 例1(天津市竞赛题)已知 ,则 的值等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解密】 已知等式具有 的特点,自然想到配方。 【解】B 例2(2004年武汉市竞赛题)若 ,则 可取得的最小值为( ) A.3 B. C. D.6 【解密】通过引参,设 = ,把 、 、 用 的代数式表示,则 转化为关于 的二次三项式,运用配方法求其最小值。 【解】 , , ,原式= = ,选B. 例3(2005全国初中数学竞赛题)若M= ( 、 是实数),则M的值一定是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.整数 【解密】先将原多项式转化成 个完全平方式的和的形式,然后就其结构特征进行合理分析、推断,可达到目的。 【解】∵ = ≥0,且 、 、 这三个数不能同时为零,所以M>0.选A. 【探秘】应用非负数和性质解决问题的关键在于能否认出或揭示出题目中的非负数,并正确运用非负数的有关概念及其性质,进行巧妙地转化,从而增加求解的条件. 例4(河北省竞赛题)已知实数 、 、 、 满足 , ,则 的值为 . 【解密】把等求式用已知式表示,关键是展开后添项配方。 【解】原式= 例5 (1) (2005年武汉市竞赛题) 可取得的最小值为 . (2)(北京市竞赛题)已知有理数 、 、 满足 = ,那么 的值为 . 【解密】对于(1),拆项重组;对于(2)三元不方程,尝试从配方法入手. 【解】(1)原式= ,当 时,有最小值-10.[来源:Zxxk.Com] (2)配方得: =0,解得 , , ,故 = =-125. 例6 (2006年浙江省竞赛题)已知 、 、 是整数,且 , ,求 的值为 . 【解密】从代入消元或恒等变形入手,利用一元二次方程根的性质或配方法,本例解题入口宽,为我们探究留下了极大的空间. 【解】把 代入 =0,配方得 =3. ∵ 、 、 是整数,∴ =1,且 =1. ∴ 取0,-2时,