[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第05讲 一元二次方程根的分布

第5讲 一元二次方程根的分布 赛点扫描 在第4讲中,我们利用根与系数的关系,讨论了一元二次方程根的正负性.在本讲中,我们更多地借助于函数图像与方程根之间的关系,并利用一个基本结论:“对于二次函数y=x2+bx+c,若f(m)·f(n)<0(m<n),则在m与n之间,必有一个x0,使得f(.x0)=0,即方程f(x)=0在m与n之间必有一个实数根x0.”考查一元二次方程根的分布状态. 例1(2002年全国初中数学竞赛题)设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1<x2,那么a的取值范围是( ) A.-<a<0 D.- C.a<- B.a><a< 【解密】因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来解决,即求对应的二次函数与x轴的交点满足x1<1<x2的a的值,为避免讨论,原方程可简化. 【解】a≠0,记y=x2+(1+)x+9,则此抛物线开口向上. 因x1<1<x2,故当x=1时,y<0,即1+(1+<a<0.)+9<0,解得- 故选D. 【探密】用函数的观点讨论复杂的二次方程实根分布问题的基本步骤是:在直角 坐标系中作出对应函数图像,由确定函数图像大致位置的约束条件建立不等式组. 例2(1990年全国初中数学联赛题)方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是常数)有两实根α,β,且0<α<1,1<β<2,那么k的取值范围是( ) A.3<k<4 B.-2<k<-1 C.3<k<4或-2<k<-1 D.无解 【解法1】利用根与系数关系,[来源:Zxxk.Com] 设x=y+1,则原方程变为7(y+1)2-(k+13)(y+1)+k2-k-2=0, 整理,得7y2-(k-1)y+k2-2k-8=0. 原方程两根为α,β,所以上述方程的两根为α1=α-1,β1=β-1, 又因为0<α<1,1<β<2, 所以-1<a-1<0,0<β-1<1, 即-1<α1<0,0<β1<1.① 所以α1β1=(k2-2k-8)<0,② 解得-2<k<4.③ 又(α1+1)(β1+1)=(α1+β1)+α1β1+1>0,④ 即+1>0,[来源:学§科§网]+ 亦即k2-k-2>0, 解得k>2或k<-1.⑤ 又由(α1-1)(β1-1)=α1β1-(α1+β1)+1>0⑥ 得+1>0,- 即k2-3k>0, 解得k>3或k<0.⑦[来源