[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第04讲 一元二次方程根与系数的关系

第04讲一元二次方程根与系数关系 赛点扫描 一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的, 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在: 运用韦达定理,求方程中参数的值; 运用韦达定理,求代数式的值; 利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征; 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等, 韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路. 韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法, 赛题解密 例1 (黄冈地区初中数学竞赛题)质数p,q是方程x2-13x+m=0的根,则 + 的值是 ( ) A. B. C. D. 【解密】本题只要注意到p,q为质数,且p+q=13便容易解决了. 【解】 ∵p+q=13,且p,q为质数,∴ 或 ,得 + = ,故选C 例2 (全国竞赛题)如果a,b是质数,且a2-13a+m=0,b2-13b+m=0,那么 + 的值为 ( ) A. B. 或2 C. D. 或2 【解密】观察所求的算式是关于a,b的轮换对称形式,我们联想到一元二次方程中的对称结构,即根与系数的关系,又考虑到条件中的两个等式的“相似”性,这就为我们构造一个一元二次方程提供了条件. 【解】 (1)当a=b时, + =2. (2)当a≠b时,a,b可以看成是方程x2-13x+m=0的两个根, ∴由韦达定理可得a+b=13. 又 a,b是质数, ∴a,b只能是2或11, + = + = 故选B. 【探秘】构造方程在本题中发挥了重要的作用,通过构造方程,我们就可以利用一元二次方程根与系数的关系来求代数式的值.值得注意的是,不要丢掉a=b的情况,这是本题的一个难点, 有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有: (1)利用根的定义构造; (2)利用根与系数的关系构造;[来源:学科网] (3)确定主元构造.[来源:Z+xx+k.Com] 例3 (全国初中数学联赛题)若ab≠1,且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0,则 的值是 ( ) A. B. C.- D.- 【解密】第二个方程可变形为 + +9=0,这样两个方程具有相同的结