[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第03讲 一元二次方程根的判别式

第03讲 一元二次方程根的判别式 赛点扫描 运用配方法解一元二次方程过程中得到 = (*) 显然,只有当b2-4ac≥0时,才能直接开平方得:x+ =± . 也就是说,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有当系数a、b、c满足条件△=b2-4ac≥0时才有实数根.这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式. 观察(*)式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况: 当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; 当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; 当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根, 根的判别式在以下方面有着广泛的应用:[来源:学+科+网] (1)运用判别式,判定方程实根的个数; (2)利用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围; (3)通过判别式,证明与方程相关的代数问题; (4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题. 赛题解密 例1(1994年安徽省初中数学竞赛题)已知方程2x2-2ax+3a-4=0没有实数根,那么代数式 +|2-a|的值是 ( ) A.2 B.5 C.2a-6 D.6-2a 【解密】由方程2x2-2ax+3a-4=0没有实数根,首先想到△<0,即 △=(-2a)2 -4×2×(3a -4) =4a2 - 24a+32 =4(a -2)(a-4)<0 解得 2<a<4, 而 +|2-a|=|a-4|+|2-a|,[来源:学§科§网Z§X§X§K] ∵2<a<4 , ∴ +|2-a|=4-a+a-2=2. 故选A. 例2(1997年陕西省初中数学联赛题)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)有2个异号实根m和n,且m<|m|,那么二次方程cx2+(m-n)ax-a=0的根的情况是 ( )[来源:Zxxk.Com] A.有2个负根 B.有2个正根 C.2根异号 D.无实根 【解密】本题首先判断方程cx2+(m-n)ax-a=0是否有根,若有根,再判断是正根还是负根. 【解】∵ax2+bx+c=0(ac≠0)有2个异号实根m和n,且m<|m|, ∴m<0,n>0,且mn= <0,n-m>0, 而方程cx2+(m-n)ax-a=0的判别式为 △=a2(m-n)2+4ac=a2[(m-n)2+4 ] = a2[(m-n)2+ 4mn]=a2(m+n)2≥0, 故