[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第02讲 一元二次方程的应用

第2讲 一元二次方程的应用 赛点扫描 方程是刻画现实问题的有效模型之一,一元二次方程是方程模型的重要代表,许多 问题可转化为解一元二次方程,研究一元二次方程根的性质而获解•现阶段一元二次方 程的应用主要有以下两个方面: (1) 求代数式的值;[来源:Zxxk.Com] (2) 列二次方程解应用题.[来源:Z&xx&k.Com] 列二次方程解应用题也要经过设、列、解、答四个步骤,解题的关键是认真审题、分析 数量关系,恰当设未知数.将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题,进而建立方 程模型,解决问题. 赛题解密 例1.(江苏省竞赛题)自然数n满足(n2—2n—2)n2+47 = (n2—2n—2)16n—16,这样的n的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 【解密】运用幂的性质,将问题转化为解方程. 【解】n2—2n—2≠1时,由n2+47=16n—16,得n=7或n=9;n2—2n—2=1时,由n2—2n—3得n=3.选C. 例2.(荆州市竞赛题)如图2-1所示,两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦冰面上的点A和点B,点A和B之间的距离是100m,陈洁离开点A以8m/s的速度沿着与AB成60°角的直线滑行,在陈洁离开点A的同时,李莉以7m/s的速度也沿着一条直线滑行离开点B,这条直线能使这两名滑冰者在给定的速度下最早相遇,则最早相遇的时间是 ( ) A.18s B.20s C.22s D. s 【解密】设满足题设的时间为t(s),过C作CD丄AB于D,把相关线段用t的代数式表示,运用勾股定理建立方程. 【解】选B. AC = 8t,BC=7t,AD=4t,CD = .由(7t)2 = (100—4t)2 +(4 )2,得t = 20 或t = (舍去). 例3.(全国联赛题)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方,恰好等于这个四位数. 【解密】 由题设可知待求的四位数等于前两位数与后两位数之和的平方,可得二元二次方程,这时,未知数的个数与方程的个数不配对.再由这个四位数是整数,你能悟出什么? 【解】设前后两个两位数分别为x,y,10≤x,y≤99,根据题意有 (x + y)2 = 100x + y, 即 x2+2(y—50)x + (y2—y) = 0 当 △ = 4(y—50)2—4(y2—y) = 4(2500—99y)≥0,