[中学联盟]山东省诸城市桃林镇桃林初中九年级数学竞赛教程：第01讲 一元二次方程

第一讲 一元二次方程 赛点扫描 形如 的方程叫一元二次方程.配方法,公式法,因式分解法是解一元二次方程的基本方法.而公式法是解一元二次方程最普遍.最具有一般性的方法. 求根公式 内涵丰富:它包括了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求根,实根的个数.何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题.直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决.解题时常用到变形降次.整体代入.构造零值多项式等技巧方法. 赛题解密 例1(全国初中数学联赛题)设x1.x2是二次方程x2+x-3=0的两个根.那么 EMBED Equation.3 的值等于 ( )[来源:学科网ZXXK] A. -4 B.8 C.6 D.0 [解密]求出x1,x2的值再代入计算,则计算繁琐,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次.如 [解].选D. 由题意有 .即 ,原式=x1(3-x1)-4(3-x2)+19= =3x1-(3-x1)+4x2+7=4(x1+x2)+4=4×(-1)+4=0 例2(1999年武汉竞赛题)方程 的实数根是_ [解密]观察方程,因为 .所以这种类型的方程通常用换元法来解. [解],设 ,则 ,原方程转化为2t2-3t-5=0,解得 t1=5/2,t2=-1. 当t1=5/2时, ,解得x1=2,x2=1/2 当t2=-1时 ,此方程无实数解. 经校验,原方程的实数根为x=2或1/2. 例3. (2005年全国初中数学竞赛题) 若关于x的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整数.则符合条件的整数k的值有_个. [解密] 用因式分解法可得到根的简单表达式,因方程的类型未指明,故需按一次方程.二次方程两种情形讨论.这样确定k的值才能全面而准确. [解].当k=6时,得x=2;当k=9时,得x=-3,当k≠6且k≠9时,解得 ,当6-k=±1,±3,±9时,x1是整数,这时k=7,5,3,15,-3;当9-k=±1,±2,±3,±6时,x2是整数,这时k=10,8,11,7,12,15,3.综上所述,k=3,6,7,9,15时,原方程的解为整数,共5个. [探密] 系数含参数的方程问题,