初中数学竞赛辅导：例谈解方程问题

例谈解方程问题 初中阶段的解方程问题包括一元一次方程、一元二次方程、分式方程、无理方程和绝对值方程．其中一元二次方程占有重要的地位，它涉及的内容主要有解法、根与系数的关系，判别式及根的分布与性质，题型灵活多变，技巧性强．此外解分式方程和无理方程的基本思想是化为整式方程和有理方程，最后转化为一元一次或一元二次方程来求解．常用方法为换元法、因式分解法、设参数等．本文例谈方程的求解问题， 一、一元二次方程的求解 例1 设方程2x2＋ax－2＝0的两根之差的绝对值为 ，则a等于( ) (A)3 (B) －5 (C)±3 (D)±5 即a2＝9，解得a＝±3． 选C 注 与两根x1，x2有关的某些代数式的值常用到如下一些关系式： 例2 已知关于x的方程x4＋2x3＋(3＋k)x2＋(2＋k)x＋2k ＝0有实根．若所有实根之积为－2，则所有实根的平方和为_______． 解 将方程左边因式分解得 ． 因为 ＝0无实根，所以方程 ＝0有两个实根x1，x2． 根据题意： 注 此题用因式分解的方法把四次方程转化为求解一元二次方程的问题． 例3 是否存在两个正整数a、b满足a≤b，且关于x的方程x2－abx＋a＋b＝0有两个整数解？若存在，求出所有符合条件的正整数a、b；若不存在，请给予说明． 解 假设正整数a、b符合条件，使方程x2－abx＋a＋b＝0有两个正整数解x1，x2 (不妨设x1≤x2)．由根与系数关系知： x1＋x2＝ab>0，x1x2＝a＋b>0， 因此x1，x2均为正整数，且 x1x2－x1－x2＝a＋b－ab， 即(x1，－1)(x2，－1) ＝－(a－l)(b－1)＋2． ①[来源:Z|xx|k.Com] 由(x1－1)(x2－1)≥0知 0≤(a－l)(b－1)≤2． 设(a－l)(b－1)＝M，[来源:学+科+网Z+X+X+K] 于是M＝0，1或2． (1)当M＝2时，有 a－l＝l，b－1＝2， 即a＝2，b＝3． 由方程①知x1＝l，x2＝5．符合题意； (2)当M＝1时，有 a－l＝l，b－1＝1． 即a＝2，b＝2． 由方程