初中数学竞赛指导：因式分解竞赛题例析

因式分解竞赛题例析 因式分解是代数的重要内容，也是初中学习分式、一元二次方程等知识的基础。它是整式乘法的逆变形，是每年中考必考的考点，也是数学竞赛中经常光顾的知识点。竞赛题中因式分解的考法以直接运算和运用为主。因式分解的竞赛题除了应掌握教材中的分解因式的方法（提公因式法、公式法）外，还需要掌握十字相乘法、分组分解法、配方法、公式法中的立方和(差)公式[即 + =( + )( － ＋ ) － ＝（ ( )]。下面例析几道因式分解的竞赛题，以帮助同学们学习因式分解和拓展同学们的思路。 一、直接考因式分解 这类竞赛题，无外乎就考因式分解的几种方法，试题比平时稍难一点而已。只要同学们认真观察，勤加练习，解起来问题都不会很大。 例1、已知(19x(31)(13x(17)((13x(17)(11x(23)可因式分解成(ax(b)(8x(c)，其中a、b、c均为整数，则a(b(c=？ A．(12 B．(32 C．38 D．72 分析：将给出的多项式运用提公因式法进行因式分解，再根据多项式相等就可求出a、b、c的值。 解：(19x(31)(13x(17)((13x(17)(11x(23)= (13x(17)（19x(31－11x＋23）＝(13x(17)（8x－８）。所以a＝13、b=－１７、c＝－８．所以a(b(c=－１２．选Ａ． 例2、分解因式 － － ＋ － =____． [来源:学科网ZXXK] 分析:此题没有公因式，而且超过了三项，所以应考虑分组分解法。象这种五项的，一般按照“三、二”项分组即可，如果不成，再考虑其它分组方法。注意分组后一定要考虑下一步能够再分，直至将多项式分解成几个整式的乘积为止。 解： － － ＋ － ＝（ － － ）－（ － ）　＝（ － ）（ ＋ ）－２（ － ）＝（ － ）（ ＋ －２） 例3、把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________. 分析：粗看这个多项式，采用哪种方法都不能分解因式。怎么办呢？那就将多项式进行整理，看能不能分解。对于这类题一般都如此处理。 　　　解：原式＝［（ ＋ ）－２ ］［（ ＋ ）－２］＋ －２ ＋１ 　　　　　　＝ － － ＋４ ＋ －２ ＋１ 　　　　　　＝ － ＋ 　　　　　　　＝ ＝ = 二、考因