初中数学竞赛指导：与一次函数相关的竞赛题及其解法

与一次函数相关的竞赛题及其解法 一次函数是与现实生活联系最紧密的知识点,受到各级各类竞赛的青睐.近几年各国各地竞赛试题中与一次函数相关的问题屡见不鲜. 1 一次函数的性质问题 一次函数 ( 是常数, ≠0)的性质大致如下: (1)它的图象是经过点( )和( )的一条直线; (2)它的系数符号决定图象的大致位置及单调性( 随 的变化情况),如图1所示. [来源:学,科,网Z,X,X,K] 例1 已知一次函数 ,则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有 个,即第 象限. 例2 已知 ≠ ,并且 ,那么 一定经过( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限 [来源:学科网ZXXK] 2 一次函数图象上的特殊点问题 一次函数图象上的特殊点主要指与两坐标轴的交点、定点(恒过某一点)、整点以及两个一次函数图象的交点等. 例3 函数 的图象如图2所示,则点A与B 的坐标分别是A ,B 例4 如图3在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线 恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么, 3 一次函数的图象与面积问题 一次函数的图象与两坐标轴的交点以及坐标原点构成的直角三角形的面积,可用一次函数的系数 表示;若所考察的三角形的边不在坐标轴上,关键是把相关三角形的面积用边在坐标轴上的其他三角形的面积来表示,使面积问题与坐标建立联系.[来源:学科网] 例5 设直线 ( 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为 ( =1,2,3,…,2000).则 1+ 2+ 3+…+ 2000的值为 ( ) A. B. C. D. 例6 如图4,直线 与 轴, 轴分别交于点 ,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=90○.如果在第二象限内有一点P( , ),且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求 的值. 4 一次函数的应用问题[来源:学科网ZXXK] 一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系,构建一次函数模型,再利用一次函数的性质求出问题的解. 例7 某家电生产业根据