中考数学复习指导：巧解二次函数问题

巧解二次函数问题 二次函数问题在形式上呈现多样性和复杂性，在思维方法和解题方法上又表现为灵活性，在通解通法的基础上，若要寻求简速思维，常需要采用转化策略．巧解二次函数问题，需要我们具有一定的解题经验和洞察力，本文举例说明． 一、巧设解析式解决问题[来源:学§科§网Z§X§X§K] 在一些二次函数问题中，有时题设会给出含有待定系数的解析式和相关条件，目标是求出解析式，对于这类问题，我们不一定非要受条件的束缚，可以根据已知的条件重新选择一般式、顶点式或零点式． 例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点坐标为（4，－1），与y轴交于点(0，3)，求抛物线的解析式． 解析 题目中给出的是一般式，如果将顶点带入顶点坐标公式，将交点(0，3)带入解析式，会得到二元一次方程组，求解过程麻烦，计算量也比较大．根据顶点坐标为(4，－1)，重新设解析式为顶点式y＝a(x－4)2－1(a≠0)，此时解析式中只含有一个待定系数a，只需将交点(0，3)代入其中，便会得到关于a的一元一次方程，很容易求出a，得出所求解析式． 变式 二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝3，最小值为－2，且过点(0，1)，求此函数的解析式． 解析 此题中的条件对称轴为x＝3，最小值为－2，其实就是告诉我们顶点坐标为（3，－2），将二次函数解析式重新设为顶点式即可方便解题． 例2 抛物线的对称轴是x＝3，且过点（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式． 解析 此题并没有完全给出顶点坐标，对称轴为x＝3．就是告诉了我们顶点的横坐[来源:学.科.网Z.X.X.K] 标为3，同样设顶点式y＝a(x－3)2＋b(a≠0)，代入（4，－4）、（－1，2）这两个点到解析式中，我们只需要解关于a、b的二元一次方程组，如果设一般式y＝ax2＋bx＋c解决，那么将会得到关于a、b、c的三元一次方程组，相对麻烦． 例3 二次函数y＝－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），求b、c的值． 解析 解析式中的a为－1，结合最高点是（－1，－3）即为顶点坐标，不需要计算，直接表示出解析式为y＝－(x＋1)2－3，整理成一般形式，即可得到b，c的值． 二、巧用对称轴解决问题 二次函数的图象是轴对称曲线，解题时应