中考数学复习指导：判定三角形形状的十种常用方法

判定三角形形状的十种常用方法 三角形既可以按边分类也可以按角分类，当我们得到了它们的边（或角）之间的关系或最大角的度数时，就能据此判定三s角形的形状．本文就判定三角形形状的常用方法归纳介绍如下，供参考． 一、利用因式分解 例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a2＋2ab＝c2＋2bc，试判定△ABC的形状，[来源:Zxxk.Com] 解 ∵a2＋2ab＝c2＋2bc，a2－c2＋2ab－2bc＝0，即（a－c）（a＋c)＋2b(a－c)＝0， ∴（a－c）（a＋c＋2b）＝0． ∵a＋c＋2b≠0，，∴a－c＝0，即a＝c， 故△ABC是等腰三角形． 二、利用配方法 例2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2，试判定三角形的形状． 解 将a4＋b4＋c4＝a2b2＋b2c2＋c2a2变形为： 2a4＋2b4＋2c4－2a2b2－2b2C2－2c2a2＝0． 配方，得 (a2－b2)2＋(b2－c2)2＋(c2－a2)2＝0， a2－b2＝b2－c2＝c2－a2＝0． 即a2＝b2＝c2． 又∵a，b，c均为正数，∴a＝b＝c． 故三角形为等边三角形， 三、利用根的判别式 例3 已知a、b、c是△ABC的三边，且方程(a2＋b2＋c2)x2－(a＋b＋c)x＋ ＝0有实根，试判定△ABC的形状． 解 据题意，有 △＝[－(a＋b＋c)]2－4（a2＋b2＋c2）× ＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac－3a2－3b2－3c2 ＝－[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]≥0， ∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0． 又∵（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≥0， ∴（a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0． ∴a＝b，b＝c，a＝c，从而a＝b＝c， 故△ABC是等边三角形． 四、利用构造方程 例4 已知k>1，b＝2k，a＋c＝2k2，ac ＝k4－1，试判定以a、b、c为边的三角形形状， 解 由a＋c＝2k2，ac＝