中考数学复习指导：例谈动点型问题中相似三角形的运用

例谈动点型问题中相似三角形的运用 综观近年中考试题，凡涉及动点移动的考题，一般都会出现动点与函数图象上的特殊点，或某些特殊图形上的特殊点构成的三角形，由此引发求线段长或三角形面积最大值，或在某特定条件下动点的运动时间等问题，解题时大多要考虑运用相似三角形的判定定理及其性质来解决． 例1 已知直线y＝kx＋3（k<0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒． (1)当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．[来源:学。科。网] ①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标； ②若以Q、C、A为顶点的三角形与AOB相似，求t的值． (2)当k＝－ 时，设以C为顶点的抛物线y＝(x＋m)2＋n与直线AB的另一交点为D（如图2）． ①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ 分析 (1)①由题意易得，②由题意可得到P、C、Q三点用含字母t表示的坐标．按照两种情形解答．(2)①先求出以点C为顶点的抛物线，解得关于t的根；又由过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°；再利用△DEC∽△AOB，从而解得．②先求得△COD的面积为定值，最后再由Rt△PCO∽Rt△OAB，运用相似三角形的性质，从线段比例中求出OP的值，即t为 时，h最大． 解 (1)①C(1，2)，Q(2，0)； ②由题意，得 P(t，0)，C(t，－t＋3)，Q(3－t，0)． 分两种情况讨论： 情形一 当△AQC∽△AOB时， ∠AQC＝∠AOB＝900，∴CQ⊥OA． ∵CP⊥OA． ∴点P与点Q重合，OQ＝OP，[来源:Zxxk.Com] 即3－t＝t，∴t＝1.5； 情形二 当△AQC~△AOB时， ∠ACQ＝∠AOB＝90°． ∵OA＝OB＝3． ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴△ACQ也是等腰直角三角形， ∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP， 即t＝2(－t＋3)，∴t＝2． ∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒． (2)①由题意，