中考数学复习指导：利用方程思想求解几何计算问题

利用方程思想求解几何计算问题 近年各地中考中的几何计算问题，融几何推理与代数运算于一体，赋予了几何图形丰富的动态背景（或点、线、面的运动元素，或图形的变换），融进了几何核心知识（全等、相似、锐角三角函数、勾股定理等）．而相似图形中边与边的比例关系式，锐角三角函数中边与角的关系表达式，面积与边的关系表达式，勾股定理中边与边之间的关系式，以及几何量之间存在的等量关系式等，都具备了方程的特性，它们是运用方程解决几何计算问题的基础．[来源:Zxxk.Com] 试题 如图1，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN． (1)求证：△ADN≌△CBM； (2)请连结MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由； (3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连结PQ、CQ、MN，如图2所示．若PQ＝CQ，PQ∥MN，且AB＝4cm，BC＝3cm，求PC的长度． 分析 本题第(3)问关于几何量的计算问题，包含两个对称翻折变换的模型，应充分借助图形翻折变换的背景挖掘翻折变换性质，根据解题需要，利用几何知识如全等、相似、锐角三角函数、勾股定理、面积的几何意义等建立已知与未知之间的边与边、边与角之间关系方程．要求PC，须先求出与之关联密切AM与BM(或CN与DN)，再过渡到相关的图形中求PC．因此，求解的思路应分两步， 第一步：求AM与BM(或CN与DN)． [来源:Zxxk.Com] 评注 本解法的关键是，找到两个三角形相似的元素，和通过三角形相似转化建立边与边之间的比例关系式方程． 解法二 由矩形性质和翻折变换性质可知， 评注 本解法的关键是，将两个关联的直角三角形的锐角三角函数（即边与角的关系）转化为两个直角三角形边之间的比例关系． 解法三 如图3，设AC与MN的交点为O，EF＝x． 评注 本解法的关键是，并利用直线AC上相关线段间的和差关系建立方程，并求得AE(或CF)．这样，为在Rt△AEM中运用勾股定理建立方程求AM(或CN)创造了条件． 解法四 设BM＝x，则ME＝x， 评注 本解法关键是，利用两个关联三角形的面积之和是矩形面积一半的关系列方程． 解法五　由折叠可知，AN是∠DAC的角平分线，则 ．[来