中考数学复习指导：利用“中点线段倍长”法解题

利用“中点线段倍长”法解题 在解决线段的有关问题时，如果已知条件中有线段的中点，那么可以考虑将经过中点的线段延长一倍作为辅助线，以便构造全等三角形．我们不妨把这一添加辅助线的方法称为“中点线段倍长”法，现举例如下： 一、求线段的长度 例1 如图1，在等腰三角形ABC中， ∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交 AB于点E，交BC于点F，若AE＝4．FC＝3，求EF的长． 解析 如图1，延长ED至点G，使DG＝DE，连结GC、GF． 易证△CDG≌△ADE， 得CG＝AE＝4，∠1＝∠A＝45°，[来源:学+科+网] ∴∠FCG＝90°． 在Rt△CFG中，由勾股定理，得 FG＝ ＝5 ∵DE⊥DF，DG＝DE， ∴FE＝FG＝5． 二、求线段的范围 例2 如图2，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为BC边 上中点，求AD的取值范围． 解析 延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE．易证△BDE ≌△CDA，得BE＝CA＝4． 在△ABE中，由三角形三边关系，得 AB－BE<AE<AB＋BE， 即6－4<2AD<6＋4， ∴1<AD<5． 三、证明线段垂直 例3 如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点． 求证：CE⊥BE． 解析 延长CE、BA交于F点，易证 △AEF≌△DEC． 得AF＝DC＝1，EF＝EC， ∴BF＝2＋1＝3＝BC． 在ABCF中，BF＝BC，EF＝EC， 得CE⊥BE． 四、证明线段相等 例4 如图4，在△ABC中，D为BC的中点，F在AD上，[来源:学&科&网Z&X&X&K] BF＝AC，延长BF交AC于点E．求证：AE＝EF． 解析 延长AD至点G，使DG＝AD，连结DC． 易证△BDG≌△CDA， 得∠G＝∠1，BG＝CA． 又BF＝AC，∴BF＝BG．∴∠G＝∠2． 又∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝EF． 例5 如图5，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点， AE、BF交于点M，连结DM．求证：AD＝MD． 解析 延长AD、BF交