中考数学复习指导：几何法定位 代数法求解等腰三角形探究性问题

几何法定位 代数法求解等腰三角形探究性问题 在与等腰三角形有关的问题中，常会遇到这样一类探究性问题：已知两点的位置，在某条线上确定第三点的位置，使这三点构成等腰三角形，并解答与第三点相关的问题，学生解答这类问题常常感到困难，比较典型的错误有两种：一是确定第三点的位置出现遗漏；二是解答与第三点相关的问题无从下手，实际上，这类问题的解答是有规律可循的，其解题策略是：回归等腰三角形的定义，先用几何法确定位置第三点的位置，再用代数法求解与第三点相关的问题．下面举例说明。 例l 如图l，在平面直角坐标系中，已知点P(3，4)，点Q在x轴上，△PQO是等腰三角形，在图1中标出满足条件的点Q位置，并写出其坐标．[来源:学&科&网][来源:学。科。网] 解析 根据题意不能确定等腰△PQO中哪两边相等，于是回归到等腰三角形的定义分类求解． (1)几何法定位 ①若OP＝PQ，则以点P为圆心，OP长为半径画弧，与x轴的另一交点为Q1，连结PQ1，如图2． ②若OP＝OQ，则以点O为圆心，OP长为半径画弧，与x轴交于Q2、Q3，连结PQ1、PQ3，如图3． ③若PQ＝OQ，即点Q到线段OP两端的距离相等，因此点Q在线段OP的垂直平分线上，于是画线段OP的垂直平分线，交x轴于点Q4，连结PQ4，如图4． (2)代数法求解 解得t＝ 　　 ∴Q（ ，0）[来源:学|科|网Z|X|X|K] 综合知，点Q的坐标为： (6，0)，(5，0)，（－5，0），（ ，0） 例2 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,BC＝6cm， AB＝8cm．若点P从点B出发，以2cm/s的速度在BC所在的 直线l上运动．设运动时间为t，那么当t为何值时，△ACP 为等腰三角形？ 解析 (1)几何法定位[来源:学科网ZXXK] ①若AC＝CP，则以点C为圆心，AC长为半径画弧，与直线∠交于点P1、P2，连结AP1、AP2，如图6． ②若AC＝AP，则以点A为圆心，AC长为半径画弧，与直线l的另一交点为P3，连结AP1，如图7． ③若AP＝CP，则作线段AC的垂直平分线，交直线l于点P4，连结AP4，如图8． (2)代数法求解 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得 综合知，当t为2s、8s、3s或 s，△ACP为等腰三