中考数学复习指导：构造二次函数巧解题

构造二次函数巧解题 对于很多复杂问题，若能转化为对数量关系的探索，借助函数分析，往往能优化解题过程、化繁为简、化难为易．今以构造二次函数解题为例予以说明，以供读者参考． 例1 若x1，x2（x1<x2）是方程（x－a）（x－b）＝1（a<b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为( ) (A)x1<x2<a<b (B)x1<a<x2<b (C)x1<a<b<x2 (D))a<x1<b<x2 解析 易知抛物线y＝（x－a）（x－b）开口向上， 且a、b（a<b）分别是抛物线与横轴的左、右两个交点的横坐标；又由x1、x2（x1<x2）是方程（x－a）（x－b）＝1的两个根，可知x1、x2分别是抛物线与直线y＝1的左、右两个交点的横坐标，结合图1，则有x1<a<b<x2．故选C． 例2设一元二次方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的两实根分别为α、β，则α、β满足( ) [来源:学+科+网Z+X+X+K] (A)1<a<β<2 (B)1 <a<2 <β (C)a<1<β<2 (D)a<1且β>2 解析 与上例类似，易知抛物线y＝(x －1)（x－2）开口向上，与横轴分别交于点(1， 0)和点(2，0)；又由方程（x－1）（x－2）＝m(m>0)的两实根分别为α、β，可知α、β分别是抛物线与直线y＝m(m>0)的两个交点的横坐标，由于α、β大小未定，参照图2(1)，则有α<1且β>2，参照图2(2)，则有β<1且α>2．故D是正确的．[来源:学,科,网] 例3 若关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是( ) (A)a<3 (B)a>3 (C)a<－3 (D)a>－3 解析 当x＝0时，函数y＝ax2＋2x－5＝－5；当x＝1时，函数y＝a＋2－5＝a－3．又关于x的一元二次方程ax2＋2x－5＝0的两根中，有且仅有一根在0和1之间(不含0和1)，所以当x＝1时，所对应的点必在x轴的上方，则y＝a－3 >0，即a>3．故选B． 例4 下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac<0；②若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax