中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦

勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦 我国古代数学家赵爽利用弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理． 第24届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举 例介绍以弦图为背景的试题，供参考． 例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由 四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6， BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______． 解析 如图3，标注出点D、E、F、G． ∵AC＝6，BC＝5． ∴GD＝6．DE＝5． ∵FG＝DC， ∴FD＝2DG＝12． 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 EF＝ ＝13． ∴这个风车的外围周长为4(EF＋FG)＝4×(13＋6)＝76． 例2 如图4，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是( ) (A)①② (B)①②③[来源:Zxxk.Com] (C)①②④ (D)①②③④ 解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形 的面积等于直角三角形斜边长的平方．由勾股定理知直角三角形 斜边长的平方为x2＋y2，所以x2＋y2＝49，①正确． 由小正方形面积为4知它的边长为2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以x－y＝2，②正确． 大正方形面积等于4个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以4×xy＋4＝49，即2xy＋4＝49，③正确． 由①、③，得x2＋y2＋2xy＋4＝49 ×2，即（x＋y）2＝94，所以x＋y＝ ，④不正确． 综合知，选B． 例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________． 例4 如图7，已知小正方形ABCD的面积