中考数学复习指导：分式方程增根与无解辨析

分式方程增根与无解辨析 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念．同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情形：(1)原方程化去分母后的整式方程无解；(2)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却是原方程的增根． 例1 解方程： 　　　① 解 方程两边都乘以(x＋2)（x－2），得 2（x＋2）－4x＝3（x－2）． ② 解这个方程，得x＝2． 经检验：当x＝2时，原方程无意义，所以x＝2是原方程的增根．所以原方程无解． 说明 显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠－2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根，本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解， 　例2　解方程 ． 解 去分母后，化为 x－1＝3－x＋2（2＋x）， 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 说明 此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 　例3　 若方程 ＝无解，则m＝_______．[来源:Z。xx。k.Com] 解 原方程可化为 ． 方程两边都乘以x－2，得x－3＝－m，[来源:Z。xx。k.Com] 解这个方程，得x＝3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根，即x＝2． 所以2＝3－m，解得m＝1， 故当m＝1时，原方程无解． 说明 因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．[来源:Z+xx