广东省深圳市助力教育2017-2018学年高一数学必修4专题讲义：平面向量基本定理（无答案）

平面向量基本定理 知识梳理 1、平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量． 结论 这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 基底 不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2、向量的夹角 条件 两个非零向量a和b 产生过程 作向量＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角 范围 [0，π] 特殊情况 θ＝0° a与b同向 θ＝90° a与b垂直，记作a⊥b θ＝180° a与b反向 常考题型 题型一、用基底表示向量 例1、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示，，. 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 变式训练 如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若＝a，＝b，试用a，b为基底表示向量，. 题型二、向量夹角的简单求解 例2、已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 变式训练 如图，已知△ABC是等边三角形． (1)求向量与向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角． 题型三、平面向量基本定理的唯一性及其应用 例3、(1)设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　) A．0,0　　　　B．1,1 C．3,0 D．3,4 (2)在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，求λ＋μ的值． 1、平面向量基本定理唯一性的应用 设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则 2、重要结论：设e1，e2是平面内一组基底， 当λ1e1＋λ2e2＝0时 恒有λ1＝λ2＝0 若a＝λ1e1＋λ2e2 当λ2＝0时，a与e1共线 当λ1＝0时，a与e2共线 λ1＝λ2＝0时，a＝0 变式训练 若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否