中考数学复习指导：一道中考数学模拟几何题的多种解法

一道中考数学模拟题的多种解法 如图，在⊿ACB和⊿AED中，AC=BC,AE=DE,∠ACD=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连结CE、FE。 （1） 请你探究CE和FE之间的数量关系； （2） 将图1中的⊿AED绕点A顺时针旋转，使得⊿AED的一边AE恰好与⊿ACB的一边AC在同一条战线上，连结BD，取BD的中点F，求CE和FE之间的数量关系； （3） 将图1中的⊿AED绕点A顺时针旋转任意角度，使得E在⊿ACB，求CE和FE之间的数量关系。 解（1）：分析：要探究CE和EF的数量关系，我们不妨连结CF,通过观察，很容易猜想到⊿CEF是等腰直角三角形。于是，我们就想方设法证明EF=CF,在想法证明∠ECF=45°，于是就有了解法1；另外，我们也可以想方设法证明EF=CF,再证明∠EFC=90°，于是，就有了解法2. 解法1： 如图，连结CF， ∵∠AED=∠ACB=90° ∴B、C、D、E四点共圆 且BD是该圆的直径， ∵点F是BD的中点， ∴点F是圆心， ∴EF=CF=FD=FB, ∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF, 由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE, ∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45° ∴∠ECF=45°=∠CEF, ∴⊿CEF是等腰直角三角形， ∴CE=EF. 解法2： 易证∠BED=∠ACB=90°， ∵点F是BD的中点， ∴CF=EF=FB=FD, ∵∠DFE=∠ABD+∠BEF, ∠ABD=∠BEF, ∴∠DFE=2∠ABD, 同理∠CFD=2∠CBD, ∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°， 即∠CFE=90°，∴CE=EF. 解（2）：分析：观察图形，很容易猜想到CE=EF,所以，就想法求出∠ECF=45°，∠EFC=90°，于是，就有了解法1；当然，也可以延长EF交BC于点G，先证明⊿CEG为等腰直角三角形，再证明CF⊥EG,从而得出CE=EF.于是就有了解法2. 解法1：连结CF、AF， ∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°， 又点F是BD的中点， ∴FA=FB=FD， 而AC=BC,CF=CF, ∴⊿ACF≌⊿BCF, ∴∠ACF=∠BCF=∠ACB=45°， ∵FA=FB,CA=CB, ∴CF所在的直线垂直平分线段AB， 同理，EF所在的直