中考数学复习指导：关于一道初中几何开放题解答的研讨

关于一道初中几何开放题解答的研讨 例题 如图1，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，E、F为对角线BD上的两点．要使四边形AECF为平行四边形，在不连结其它线段的条件下，还需要添加的一个条件是________． 这是一道常见的条件开放型试题，答案不唯一．旨在通过添加条件，复习巩固平行四边形的性质与判定及其灵活运用，培养学生发散思维，发展合情推理能力和演绎推理能力，切实提高学生发现问题、解决问题的能力． 有学生添加一条件是∠EAF＝∠ECF，这个答案究竟是错的，还是对的？留下了“悬疑”，本文对此问题作一研讨． 一、初步验证 如图2，打开几何画板，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，在对角线BC上取一动点E，连结AE、CE．在AE、CE的同侧作∠EAF1＝∠EDF2＝∠α，分别交BC于F1、F2．当∠α不变，用鼠标拖动点E使F1与F2重合时，可以发现四边形AECF是平行四边形；当点E不动，用鼠标改变∠α的大小使得F1与F2重合时，可以发现四边形AECF为平行四边形．故认为添加∠EAF＝∠ECF这一条件一定能使四边形AECF为平行四边形，但这只是推测，要使学生信服，还需给出证明过程． 二、探究历程 方法1 联想 由平行四边形ABCD易得点A、C到BD的距离相等，有S△AEF＝S△CEF，如图1．又添加条件∠EAF＝∠ECF，由此联想到当两个三角形满足以下四个条件：①、两三角形的周长相等；②、两三角形的面积相等；③、两三角形有一边相等；④一边相等的两三角形中相等的边的对角对应相等时，就可以证得这两个三角形全等．因此欲证明该题只需证得①，问题转化为求证△AEF与△CEF的周长相等，故只需证AE＋AF＝CE＋CF． 令AE＝m，AF＝n，CE＝p，CF＝q． 于是可得△AEF与△CEF全等，因为AB≠BC，故平行四边形ABCD不可能是菱形，也就说明AE不可能与CE对应，只能△AFF≌△CFE，从而问题得证． 优化 方法1可以说明问题的正确性，但其中还涉及了课标之外的知识，且比较繁琐，因而可在其基础上加以改进与优化．于是过点E作EG⊥AF于点G，过点F作FH⊥EC 于点H，如图3． [来源:学科网ZXXK] 易得四边形AECG是平行四边形． 方法2 对称变换 图形变换是解决几何证明题的基本方法