中考数学复习指导：分类思想在解决一类“质点运动”

分类思想在解决一类“质点运动”问题中的运用 “质点运动”中图形重叠面积问题对学生来说是难点，解决这类问题的关键是，根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，分类讨论解决问题，下面举例说明分类讨论思想在解决此类问题中的运用． 例1 如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2 ，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP＝3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后立即以原速度沿OA返回；另一动点F从P点出发，以每秒一个单位的速度沿射线PA匀速运动．点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边三角形△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒(t≥0)；在整个运动过程中，设等边三角形△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量的取值范围． 分析 利用“动中求静“来分类．当0≤t≤3时，相当于形状大小不改变的等边三角形从O点向A点运动．重叠部分的图形形状分为两种情况： (i)当0≤t<1时，重叠部分是直角梯形（如图3所示）S＝2 t＋4 ； (ii)当1≤t<3时，重叠部分是五边形（如图4所示） ． 再继续运动，E点将返回，这时EF的长度将越来越短，AEFG的形状将发生变化，越来越小，重叠部分的图形是等腰梯形和等边三角形．[来源:学。科。网] (iii)当3≤t<4时，重叠部分是等腰梯形（如图5），S＝20 －4 ． (iv)当4≤t<6时，重叠部分是等边三角形（如图6），S＝ (6－t)2． 例2 如图7，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1＝x与l2＝－x＋6相交于点M，直线l2与x轴相交于点N．在矩形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，边AB在戈轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动，设矩形ABCD与△OMN重叠部分的面积为S，移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）．直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需给出解答过程）． 分析 分类时要考虑矩形ABCD与直线l1和l2相交的情况．首先是矩形与l1相交的情况． (1)当0≤t<1时，重叠部分是三角形（如图8），[来源:Z+xx+k.Com] S△OBE