中考数学复习指导：转化构图巧解题

转化构图巧解题 转化构图的方法是：根据题设的结构特征和目标特点，通过添加适当的辅助线，构造出恰当的新图形，使之成为连接条件和结论的纽带．运用这种方法有时可取得出奇制胜的效果，下面举一例说明． 题目 如图1，在矩形ABCD中，设AB＝a．AD＝2a，E是BC边上的一点，且∠CDE＝15°．求证：AE＝2a．[来源:Z.xx.k.Com] 分析 本题是一道具有较大难度的题目，难在题设15°不易发挥它的应有功效，实际它正是结论AE＝2a成立的关键，为此要对15°的角进行转化，但同时要兼顾AD＝2AB．[来源:学科网] 观察可知，在本题已知的矩形中，不难由∠CDE＝15°，得∠ADE＝75°．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 欲证AE＝2a，即证∠AED＝75°，也即证∠DAE＝30°． 在AE＝2a、∠AED＝75°、∠DAE＝30°三个中，其中一个成立，则另两个也成立．若单独证明其中一个有困难，不如把它们看成一个整体，另构造一个顶角是30°，且腰长为2a的等腰三角形，并使它和欲证明的等腰△ADE密切相连，这样既容易产生新的等边2a、新的等角15°、75°，又极易发挥30°角的作用，从而使问题迎刃而解． 简证一 如图2，以D为圆心，AD为半径画弧，交BC延长线于点F，即DF＝AD． ∵CD＝a，DF＝2a，∴∠DFE＝30°， ∴∠FDE＝∠CDF＋∠CDE＝75°， ∴∠FED＝75°， ∴△FDE是等腰三角形．[来源:学,科,网Z,X,X,K] ∵AD∥EF，AD＝EF， ∴四边形ADFE是菱形， ∴AE＝DF＝2a． 简证二 如图3，以D为顶点，DA为一腰，在另一侧作顶角为30°的等腰△DAF，过点F作FG⊥AD于点G． ∴AF＝ED． ∴四边形AFDE是平行四边形， ∴AE＝FD＝2a． 简证三 如图4，以D为顶点，以AD为一腰，作顶角为30°的等腰△ADF，作FG⊥AD于点G，连结EF． ∵∠DAF＝30°，AF＝2a， ∴FG＝a， ∴DC＝FG． ∵∠FDG＝∠DEC＝75°，[来源:学科网] ∠FGD＝∠DCE． ∴△FGD≌△DCE，∴DE＝DF． ∵∠ADE＝∠ADF＝75°． ∴DA垂直平分EF，∴AE＝AF＝2a． 注 四边形AEDF是筝形． 简证四 如图5，