中考数学复习指导：由分式方程解的状态引出的常见题型

由分式方程解的状态引出的常见题型 分式方程解的一个隐含条件是：使分式方程有意义．现将与分式方程解的状态有关的常见题型举例如下： 一、分式方程的解为正数，或解为负数 例l 已知关于x的分式方程 的解为正数，求a的取值范围． 分析 分式方程的“解为正数”，不仅仅是“解大于零”，而且要确保分母不等于零，所以，此例中“解为正数”的要求是“解大于零且解不等于2”． 解 去分母，得x＋a＝2－x， 解之得 [来源:Z+xx+k.Com] ∵方程的解为正数， ∴ ∴a的取值范围是a<2且a≠－2．[来源:学*科*网Z*X*X*K] 评注 此类问题的解题步骤是：①求“解”；②令“解大于零且解不等于增根”． 二、分式方程有增根[来源:Z+xx+k.Com] 例2 m为何值时，关于y的方程 会产生增根． 分析 分式方程产生增根的原因是“去分母”，只有在去分母的过程中扩大了字母的取值范围，分式方程才有可能出现增根． 解 去分母，得y2－m2＝(y－1)2．① 把分式方程的增根y＝0代入①，得 －m2＝1，m无解； 把分式方程的增根y＝1代入①，得 1－m2＝0，m＝±1． ∴当m＝＋1时，分式方程有增根，[来源:Zxxk.Com] 评注 此类问题的解题步骤是：①去分母（不用整理方程）；②把增根代入计算． 三、分式方程无解 例3 已知关于x的方程 无解，求a的值． 解 去分母，得x2＋4－x2＝a（x－2）， 整理，得ax＝2a＋4． ①当a＝0时，0．x＝4，整式方程无解，故分式方程也无解； ②当a≠0时，x＝ [来源:学&科&网] ∵分式方程的增根为x＝0或x＝2， 故令 ＝0得a＝－2； 令 ＝2得口无解． ∴当a＝－2时，整式方程有解，但分式方程无解． 综上，当a＝0或a＝－2时，分式方程无解． 评注 分式方程无解有两种情况：①分式方程化成整式方程后，如果整式方程无解，那么分式方程就无解；②分式方程化成整式方程后，如果整式方程有解，但这个解是分式方程的增根，那么分式方程仍无解． $$