中考数学复习指导：应用对称性解决实际问题

应用对称性解决实际问题 轴对称图形和中心对称图形都是对称图形，应用其定义和性质求解诸如工厂决策、平分面积和周长、确定函数及求值，是初中数学中常见的问题，下面略举几例，与大家共同探究求解此类问题的方法． 定理1 如果两个图形关于某一直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线． 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 一、工程决策 例1 如图1，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉农作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的哪一点，可使所修建的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法）． 分析 根据定理1可知：只需作出点A关于河流a的对称点D，连结BD交a于C，则C点即为所求符合题意的点． 二、平分周长和面积[来源:学#科#网] 例2 如图2所示，一个矩形内有任意一圆，请你用一直线同时将圆与矩形的周长二等分，说明作图的道理和方法． 分析 根据定理2可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形周长等分、面积等分．设矩形对角线交点为O1，则O1为矩形的对称中心，圆的圆心为O，则O为圆的对称中心，故直线⊙O1为所求直线． 例3 有一块方角形钢板，如图3所示．请你用一条直线 将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图 中直接画出）． 分析 延长FE可将这块方钢分成两个矩形ABMF、MCDE． 设两矩形的对称中心分别为O、O1，根据定理2可知，经过中心O 的任意一条直线可将矩形MCDE面积平分；经过中心O1的任意一[来源:学科网ZXXK][来源:学#科#网][来源:学§科§网] 条直线可将矩形ABMF面积平分，故过O、O1的直线可将这块方 钢面积平分． 三、求解析式 例4 如图4所示，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，A点坐标是(1，0)．[来源:学科网] (1)经过点C的直线y＝ x－ 与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； (2)若直线l经过点E且将正方形ABCD面积平分，求直线l的方程． 分析 (1)略； (2)根据定理2可知，设矩形的对称中心为O，平分矩形面积的直线l必经过矩形中心O，所以直线EO为所求作的直线l．