中考数学复习指导：依据不同条件巧构辅助圆

依据不同条件巧构辅助圆 本文介绍如何根据题目中的已知条件，巧妙地构造辅助圆，以使解题取得事半功倍之效．[来源:学+科+网Z+X+X+K] 条件一 当题目中出现一个端点引出三条相等线段时，可以根据圆的定义来构造圆． 例1 如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为( ) (A) (B) (C)3 (D)2 　　　 分析 本题也可以根据梯形和直角三角形的知识来解决，但是计算量比较大，如果根据题目中的条件“AB＝AC＝AD”来构造圆，就能避繁就简． 解 以A为圆心，AB长为半径画圆，则点C，D在圆周上，延长BA交圆于点E，连结ED． 在Rt△EBD中，DE＝BC＝1，BE＝4， ∴BD＝ ， 例2　 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点．将线段PA绕点P顺时针旋转2α，得到线段PQ． (1)略； (2)在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D．猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明． 分析 本题的第(2)问参考答案给出的是通过等腰三角形的性质以及三角形内角和来解决的，比较复杂，如果学生能发现PA＝PQ＝PC的话，就可以以P为圆心，PA长为半径画圆，那么∠ACQ＝∠APQ＝α，所以∠D＝90－α． 条件二 当题目中出现判断直角三角形的个数的时候，可以根据“直径所对的圆周角是直角”这个性质来构造圆，然后转化为判断直线与圆的位置关系． 例3 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，则满足条件的点C有_______个． 　　　　 分析 如图3，点C到直线AB的距离为4，说明点C的纵坐标为5或者－3；△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，说明点C在以AB为直径的圆周上（点A、B除外）．因为半径为5，圆心到点C所在直线距离为4，可见直线与圆是相交的，故点C有4个． 例4　 如图4，在平面直角坐标系中，点A（－4，0），B(2，0)．若直线l经过点E(4，0)，M为直线l上的动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只