中考数学复习指导：一个基本模型在中考数学中的应用

一个基本模型在中考数学中的应用 基本模型 如图1，若点E是线段AB上的一点，且∠CAE＝∠EBD＝∠CED＝90°，则△CAE∽△EBD．（当CE＝DE时，△CAE≌△EBD．）（证明略．） 基本模式的变形 如图2，把△EBD平移，使得点E移至点A处，此时CE和AD的交于点H，同时保证∠CHD＝90°．这里同样可以利用基本模式的方法证明出两个三角形相似的结论．[来源:学科网] 图3是图2在动态的情况下的特殊情况，即当点D作为动点，当该点和点F重合后的情形．此时在正方形内，△CAE和△EBD都变成了等腰直角三角形，如果点C和点E都作为动点的话，最后还会出现图4这个特殊情况． 下面，介绍该模式的应用． 一、利用模式解线段问题 例1 如图5，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3．若点A，B，C分别在直线l1、l2、l3上，且AC⊥BC，AC＝BC，则AB的长是_______． 分析 过点A作AD⊥l3于点D，过点B作BE⊥l3于E，利用基本模式的原理，证明△ACD≌△CBE．根据全等三角形对应边相等的性质，可得BE＝CD，再利用勾股定理列式，求出AC的长；最后根据勾股定理或者利用等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍得到结果． 解 如图5，过点A作AD⊥l3于点D，过点B作BE⊥l3于点E，则∠CAD＋∠ACD＝90°． ∵AC⊥BC． ∴∠BCE＋∠ACD＝180°－90°＝ 90°， ∴∠BCE＝∠CAD．[来源:学.科.网] ∵在△ACD和△CBE中， ∴△ACD≌△CBE，∴BE＝CD． ∵l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3， ∴CD=3，AD=2+3=5， 在Rt△ACD中， AC= ∵AC⊥BC，AC=BC ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=× ．[来源:Zxxk.Com][来源:学。科。网] 二、利用模式解图形变换问题 (1)－次折叠 例2如图6，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处．已知CE＝3cm，AB＝8cm，则图中阴影部分面积为_______cm2． 分析 利用基本模式，得出△ABF∽△FCE．根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得AF＝AD＝BC，EF＝DE＝CD－CE＝AB－CE＝8－3