中考数学复习指导：一道中考圆填空题的解题思路

一道中考圆填空题的解题思路 近年来，在基础题的考查如填空、选择题中，最后一题的能力要求比较高，许多考生使出浑身解数却无功而返．事实上，这类题要求考生必须具备一定的数学思想和方法，综合运用所学知识才能顺利解答．这里举一例分析． 原题 如图l，已知A、B两点的坐标分别为（2 ，0）、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为______． 分析 此题为2010年苏州中考试题的最后一道填空题，本题是以圆为背景，融直角坐标系、点的坐标及特殊的三角函数于一体的代数几何综合题．主要考查圆中有关角的基本性质、直角三角形、点的坐标，涉及的数学思想有数形结合思想、转化、方程思想等，作为最后一道填空题，综合性较强，能力要求较高． 为此，有了下面的几种思路： 思路1 求点P的坐标，转化为求点P到坐标轴的距离．故作PC⊥x轴于点C，求出OC、PC的长即可（如图2）．[来源:Z§xx§k.Com] 由∠AOP＝45°知OC＝PC，在Rt△PCA中，利用勾股定理即可求出PC． 设OC＝PC＝x，则AC＝2 －x． 在Rt△PCA中，[来源:学科网ZXXK] 由PC2＋AC2＝PA2，得 x2＋（2 －x）2＝（2 ）2． 解得x＝ ＋1（ －1不合题意，舍去）， 故点P的坐标为（ ＋1， ＋1）． 思路1本质就是已知△OPA的两边PA、OA和∠AOP、LOPA，求高PC的问题．于是，在Rt△PCA中利用勾股定理建立方程即可． 思路2 考虑到△OPA中的两个角 （∠AOP＝45°，∠2＝∠1＝60°）都是已知，且OA＝2 ，故只需求出OP长，于是，想到作AC⊥OP(如图3)． 在Rt△OCA中， 由∠AOP＝45°，得DC＝ ； 在Rt△ACP中， 由∠2＝60°，PA＝2，得PC＝． ∴PD＝ ＋， 于是不难得出点P（ ＋1， ＋1）． 反思 其实上述两种方法，都是在△OPA中通过作高，将问题转化为求某一线段长，其基本思路就是“化斜为直”——构造直角三角形，借助勾股定理或三角函数使问题得以解决．[来源:学科网ZXXK] 下面让我们重新审视一下条件：∠AOP＝45°，除得到∠AOP＝∠POB＝4