中考数学复习指导：一道中考数学压轴题的解法探究

一道中考数学压轴题的解法探究 以能力立意的陕西省中考数学压轴题是一道探究题，重在考查学生分析问题和解决问题的综合能力．此题以圆、正方形、特殊梯形、等分面积等为载体，以全等三角形、正方形、梯形及菱形性质、相似三角形、梯形面积等分线的作图为切人点，考查全面，综合性强，注重培养学生的数学思考和应用创新意识，三个问题由浅人深，有利于不同水平学生的区分．经笔者深入研究，第(3)问也可单独成题，解法灵活多样，而多角度的思考对锤炼思维大有裨益．下面提供此问的另解，供参考． 原题 问题探究 (1)请在图l中作出两条直线，使它们将圆面四等分； (2)如图2，M是正方形ABCD内一定点，请在图2中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由． 问题解决 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点．如果AB＝a，CD＝b，且b>a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由． 解 (1)如图1所示． (2)如图2，连结AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点．则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分．[来源:学科网ZXXK] 理由如下： 设点O到正方形ABCD一边的距离为d， 则有（AP＋AE）d ＝（BE＋BQ）d ＝（CQ＋CF）d ＝（PD＋DF）d ∴S四边形APOE＝S四边形BEOQ＝S四边形CQOF＝S四边形POFD， ∴直线EF、OM将正方形ABCD的面积四等分． (3)存在，当BQ＝CD＝b时，PQ将四边形ABCD的面积二等分． 理由如下： 如图3，延长BA到点E，使AE＝b，延长CD到点F，使DF＝a，连结EF．[来源:学§科§网] ∵BECF，BE＝BC＝a＋b， ∴四边形EBCF是菱形． 连结BF交AD于点M，则 △MAB≌△MDF， ∴AM＝DM， ∴P、M两点重合， ∴P点是菱形EBCF对角线的交点． 在BC上截取BQ＝CD＝b， 则CQ＝AB＝a． 设点P到菱形EBCF一边的