中考数学复习指导：一道关于初中数学圆的题目演变

一道关于初中数学圆的题目演变 观察近几年的中考数学试卷，很多题目都是数学教材中的例题或者练习题演变而来的．但是，为什么很多学生遇到这样的题目仍然为难呢？其实这与我们平时的教学模式存在很大关系，教学中，我们对一些典型问题应该进行适当的延伸、拓展和变式训练，这对提高学生的解题能力有极大的帮助 [来源:Zxxk.Com] 题目 如图1，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 分析 由AB是⊙O的直径，可得 ∠C＝90°，∠CAB＋∠B＝90°． 又∠CAD＝∠ABC，从而∠CAB＋∠CAD＝90°，即AD⊥AB于点A． 因为OA是半径，所以AD与⊙O相切． 此题蕴含着一个基本图形，由此变换条件可命制一类试题，本文通过该题的变式命制题目，并演变为中考题． 变式1 如图2，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由． 分析 连结AO并延长，交⊙O于点E，连结CE．由AE是⊙O的直径，可得 ∠ACE＝90°，∠CAE＋∠E＝90°． 由同弧所对对圆周角相等，可得∠B＝∠E． 又∠CAD＝∠B，从而∠CAE＋∠CAD＝90°，即AD⊥AE于点A．[来源:学,科,网Z,X,X,K] 因为OA是半径，所以AD与⊙O相切， 通过上述变式，将“AB是⊙O的直径”更改为“AB是⊙O的弦”，由特殊到一般，添加辅助线，转化为例1，解题方式几乎一样． 变式2（2013南京中考）如图3，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连结AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连结AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．[来源:学|科|网] (1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB＝9，BC＝6，求PC的长． 分析 (1)连结CO并延长，交⊙O于点E，连结BE．由AB∥CD，得 ∠BAC＝∠ACD． 由同弧所对对圆周角相等，可得 ∠BAC＝∠BEC，从而∠BEC＝∠ACD． 又∠BCP＝∠ACD，得∠BEC＝∠BCP．