中考数学复习指导：为等腰三角形找“伙伴”

为等腰三角形找“伙伴” 等腰三角形在初中数学中占有极其重要的地位，在实际教学中，我们要深入探索等腰三角形与其它知识的关联性，为等腰三角形寻找好“伙伴”，从而提高解题能力． 一、等腰三角形与角平分线、平行线的“伙伴”关系 在等腰三角形的实际运用中可以把等腰三角形与角平分线、平行线联系起来． 如图1，如果OD平分∠AOB，且CD∥OB，那么△COD是等腰三角形；如果△COD是等腰三角形，且CD∥OB，那么OD平分∠AOB；如果OD平分∠AOB，且△COD是等腰三角形，那么CD∥OB． 例1 图2中，已知四边形ABCD，AD∥BC，AM平分∠DAB，M是CD的中点，试说明AD＋BC＝AB． 分析 在此题中，由AD∥BC，AM平分∠DAB，可知△ABE是等腰三角形，即AB＝BE；再说明△ADM≌△ECM，可得AD＝CE，即可以得到AB＝AD＋BC．这里就利用了等腰三角形与角平分线、平行线的亲密关系，得到ABE是等腰三角形，即AB＝BE． 证明 延长AM、BC交于点E． ∵AD∥BC，，∴∠1＝∠E． ∵AM平分∠DAB，∴∠1＝∠2， ∴∠2＝∠E，∴AB＝BE． ∵M是CD的中点，∴CM＝DM，[来源:Z_xx_k.Com] 且∵∠5＝∠6、∠1＝∠E， ∴△ADM≌△ECM． ∴AD＝CE，∴AB＝AD＋BC． 二、等腰三角形与垂直平分线的“伙伴”关系 如图3，如果AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，则AB＝AC，那么△ABC就是等腰三角形；反之，如果△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且AD⊥BC(或AD是BC边上的中线，或AD平分∠BAC)，根据三线合一，可知AD是BC的垂直平分线． [来源:Zxxk.Com] 例2 如图4，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，P是AD上一点，连结PB，PC．试说明PB＝PC． 分析 按照学生一般的思路，会利用AD平分∠BAC，得到∠BAD＝∠CAD，并且AB＝AC，AP是公共边，得到△ABD≌△ACD，从而说明PB＝PC．如果我们利用等腰三角形与垂直平分线存在的好伙伴关系，可以让这个问题变得更加简单．就是根据等腰三角形的三线合一这一性质，得到AD是BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质