中考数学复习指导：探究以圆为背景的最值问题

探究以圆为背景的最值问题 动态几何问题中，最值问题是最具挑战性的，而以圆为载体的最值问题，其背景新颖、构思巧妙、创意独特、内涵丰富，深受命题者的青睐．下面我们撷取几例中考试题，探究其解法． 一、利用“两点之间，线段最短”求最小值 例1 如图1，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为 的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA＋PB的最小值为( ) (A)2 (B) (C)1 (D)2 解析 作出点B关于MN的对称点B'．由圆的对称性知：点P在直径MN上运动，始终有PB'＝PB，要求PA＋PB的最小值，就是求PA＋PB'最小值，根据“两点之间，线段最短”知，当点P运动到AB'上时（如图2），PA＋PB'最小，即PA＋PB最小值为AB’，连结OA、OB'，由∠AMN＝30°，得 的度数为60°；同时B为 的中点，可根据圆的对称性，得 的度数为90°，故∠AOB'＝90°，从而得到△AOB'为等腰直角三角形．在Rt△AOB'中，AB'＝ ，即PA＋PB的最小值为． 故选B． 评析 这道题是数学名题“将军饮马问题”的变形与应用，属于几何中常见的“一定两动型”最值问题，即在一条直线的同侧，有两个定点，在直线上找一动点，求这一动点到这两个定点的距离之和最小，解决这道题目的关键是作点B或点A关于MN的对称点，将这一问题转化为“两点之间，线段最短”．同时这道题，还要借助圆周角和圆心角的关系，构造直角，再用三角函数的知识求出最小值． 二、利用“垂线段最短”求最小值 例2 如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．[来源:Z_xx_k.Com] 解析 将EF置于△OEF中，由∠EOF＝2∠EAF，得圆心角∠EOF＝120°为定值，等腰△OEF的腰长最小时，底边EF也最小．由“垂线段最短”可知，当AD⊥BC时，直径AD最短，则半径（等腰OEF的腰长）最短，EF最小值也就迎刃而解．如图4，连接OF、OE，过O点作OH⊥EF，垂足为H在Rt△ADB中，AD＝ABsin∠B＝2，即此时圆的直径为2．由圆周角定理，可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝6