初中数学竞赛指导：用同余法巧解数学竞赛题

用同余法巧解数学竞赛题 题目 对于自然数n，将其各位数字之和记为an，如a2009＝2＋0＋0＋9＝11，a2010＝2＋0＋1＋0＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2009＋a2010＝( )． ( A)28062 (B)28065 (C)28067 (D)28068 分析 把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果n不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变an的值）． 1在千位上出现的次数为103； 1在百位上出现的次数为2×102； 1在十位和个位上出现的次数均为2×102＋1． 因此，1出现的总次数为 103＋2×102 ×3＋2＝1602． 2在千位上出现的次数为11； 2在百位和十位上出现的次数为2×102；[来源:学科网ZXXK] 2在个位上出现的次数为2×102＋1． 因此，2出现的总次数为 11＋2×102×3＋1＝612， 类似地，可求得k（k＝3，4，5，6，7，8，9）出现的总次数均为[来源:学科网] 2×102 ×3＋1＝601． ∴a1＋a2＋a3＋…＋a2009＋a2010 ＝1602×1＋612×2＋601x (3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝28608． 考虑到上述是一道选择题，因此只需选出正确答案即可，而不必求出a1＋a2＋a3＋…＋a2009＋a2010的准确值．为叙述完整，这里先给出两个引理和一个推论． 引理1 c1c2 …cn除以9所得余数，与(c1＋c2＋cn)除以9所得余数相同．[来源:学科网] 即c1×10n－1除以9所得余数与c1除以9所得余数是相同的， 即c1×10n－1 c1(mod9)． 同理可得：c2×10n－2 c2( mod9)，…， cn－1×10 cn－1 (mod9)， 所以 推论1 若对于自然数k，将其各位数字之和记为ak，则ak k( mod9)．[来源:学#科#网Z#X#X#K] 证明 设k＝c1c2 …cn，则 ak＝c1＋c2＋…＋cn， ∴ak k(mod9)． 引理2 连续9个正整数之和必是9的倍数． 证明 易