初中数学竞赛指导：巧解一道三角形的竞赛题

巧解一道三角形的竞赛题 题目 若D是等边三角形ABC的内心，点E、F分别在AC、BC边上，且满足CD＝ ，∠DEF＝60°．记△DEF的周长为l，则l的取值范围是_______．[来源:学*科*网] 该题一段时间引起了许多数学爱好者的关注与讨论，但至今未见一个正确完整的解法，本文试给出该题的一个巧解． 解 如图1，作D关于AC的对称点D1，再作D关于BC的对称点D2，连结D1D2，易知△DEF的周长是lmin＝D1D2＝3． 如图2，连结BD交AC于点G，连结AD交BC于点H，则BG⊥AC，AH⊥BC． 由题设，易得 [来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com] 下面分两种情况： (1)当 OE（30°，90°]时，点E在线段CG上，作EM⊥CF于点M（点M在线段CF上）， 易知 由∠DEA＋∠DEF＋∠FEC＝180°，得[来源:Z|xx|k.Com] θ＋60°＋∠FEC＝180°， ∴90°<θ≤120°． 作DN∥AB交AC于点N，则点E在线段NG上（如图3）． 在△DEN中， ∵∠DEN＝θ>90°，∴DE≤DN． 在△EFC中， ∵∠EFC＝θ>90°． ∴EF≤EC≤NC． 在△DFC中， ∵∠DFC>∠EFC>90°． ∴FD≤DC．∴△DEF的周长l＝DE＋EF＋FD[来源:Zxxk.Com] ≤DN＋NC＋CD＝3＋ ． (当点E位于点N，点F位于点C时取“＝”．) 由(1)、(2)知△DEF的周长为： lmax＝3＋ ． 又当点E在线段CN上运动时，△DEF的周长连续变化，故3≤l≤3＋ ． 注 该题是一道初中数学问题，故给出的解法中尽量运用初中数学知识． $$