初中数学竞赛指导：待定系数法在初中数学竞赛中的应用

待定系数法在初中数学竞赛中的应用 对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的关系式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解得待定系数，从而使问题得以解决，这一方法叫待定系数法，此法在初中竞赛题中有着广泛的应用，下面举例予以说明． 一、用于解不定方程 例1 使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数为_______． 解 由题意，可设 5×2m＋1＝(2k＋1)2（k为正整数）， 则5×2m＝4k（k＋1）， 即5×2m－2＝k（k＋1）． 由于k（k＋1）是连续的两个正整数的积，故可知5×2m－2＝5 x4，∴m＝4． 即使得5×2m＋1是完全平方数的整数m的个数只有1个． 例2 已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积． 解 设直角三角形的三边长分别为a，b，c(a≤b<c)，则a＋b＋c＝60． 显然，直角三角形的外接圆的直径即为斜边长c，下面先求c的值． 由a≤b<c及a＋b＋c＝60，得[来源:学_科_网] 60＝a＋b＋c<3c，∴c>20． 由a＋b>c及a＋b＋c＝60，得 60＝a＋b＋c>2c，∴c<30． 又∵c为整数，∴21≤c≤29． 根据勾股定理，可得a2＋b2＝c2． 把c＝60－a－b代入并化简，得 ab－60(a＋b)＋1800＝0，[来源:Z,xx,k.Com] ∴(60－a)(60－b)＝1800＝23×32×52． 因为a，b均为整数，且a≤b，所以只有 或 解得 或 ． 当a＝20，b＝15时，c＝25，三角形的外接圆的面积为 ； 当a＝10，b＝24时，c＝26，三角形的外接圆的面积为169π． 二、用于确定不等式的取等条件 例3 已知锐角△ABC的三个内角满足A>B>C，用α表示A－B，B－C，以及90°－A中的最小值，则α的最大值是_______． 解 设x>0，y>0，z>0，则[来源:学科网ZXXK] xα≤x(A－B)， yα≤y(B－C)，zα≤z(90°－A)， 即（x＋y＋z）α