初中数学竞赛指导：“方程与函数”竞赛问题的简单剖析

“方程与函数”竞赛问题的简单剖析 方程与函数是初中竞赛的主体内容之一，方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答． 复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握. 下面选取一些试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络. [例1]解绝对值方程 . [解答]（1）当 时，有 所以原方程变为 解得： ,满足条件，即是该方程的解.（2）当 时，有 所以原方程变为 ，得1=2，不存在.（3）当 时，有 所以原方程变为 ，解得： ,满足条件，即是该方程的解.综上所述，原方程的解为 或 .[来源:Z|xx|k.Com] [点评]解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用 “零点分段法”.即 ，分别求得 ，用3，4将数轴分成三段 ， ， ，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解. [例2]求方程 的整数解. [解答]x= = (1) ， 设 是整数），则 (2) ，　　 把（2）代入（1）得 ∴原方程所有的整数解是 （ 是整数） [点评]一般来说，在解不定方程时，常用系数中较小的数字去除方程中的各项，并将所得结果中的整数分离出来.这种解法一般都适合于所有的二元一次不定方程.有时我们容易观察到二元一次方程的一组特解，比如例2.通过观察发现 是方程5x+11y=1的一组特解，这时我们可以得到以下的规律：在ax+by=c中，若系数a与b互质，且该方程有一组整数解 EMBED Equation.3 ，则此方程的所有整数解可以表示成 ，其中 是整数. [例3]方程组的解的个数为( )．[来源:学.科.网Z.X.X.K] (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)4 [解答]若≥0，则于是，显然不可能． 若，则 于是，解得，进而求得． 所以，原方程组的解为只有1个解．故选(A)． [点评]解决多元方程、多变量问题的基本方法是消元.本题为消元，果断地对 的符号展开讨论，去掉