初中数学竞赛指导：“平面几何”竞赛问题的简单剖析

“平面几何”竞赛问题的简单剖析 平面几何是一门研究平面图形位置关系及相关性质的学科。初中重点学习的是推理几何，是在学习知识的同时发展能力，是学习逻辑分析、论证的方法，促使学生逐渐具备可持续发展的能力。 本文选取一些试题作剖析，内容涵盖初中几何的大部分知识点，侧重归纳解题方法、探寻解题思想、期望以点带面起到抛砖引玉之作用，使大家能初步感受和把握初中数学竞赛试题在几何层面命题的一些脉络。 [例1] 如图1，∠AOB=45°，角内有一点P，PO=1，在角的两边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长的最小值为多少？ [略解] 如图1，分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2， 连接OP1、OP2、P1P2（P1P2分别交OA、OB于点Q、R）、P1P、P2P. 易证P1O=P2O=PO=1,∠P1OP2=2×45°=90° 且 P1Q=PQ,P2R=PR , 则△PQR的周长=P1P2 而在Rt△P1OP2中,显然P1P2= 则△PQR的周长的最小值为 . 关于最小此处证略. [点评] 含45°(或135°)角的三角形与直角(90°)或正方形之间存在着内在联系.我们要善于挖掘题设中的隐含条件并及时总结；两点之间线段最短是解决最小值类问题的重要基础依据之一，对称变换是研究此类问题较常用的方法. [例2] 一个六边形的六个内角都是120°,连续四条边的边长 依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少? [略解] 如图2，六边形ABCDEF的每个内角都为120°， 且AF=1，AB=BC=3，CD=2. 如图2延长相应的边分别交于三个点P、Q、R, 易证△PAF、△QBC、△RED、△PQR均为等边三角形， 而PQ=PA+AB+QB=AF+AB+BC=7，[来源:Zxxk.Com] 所以DE=DR=7－QC－CD=2，EF=7－PF－ER=4 则该六边形的周长为15. [点评] 把一般性问题特殊化或者把特殊性问题一般化是解某些竞赛题的常用方法.本题是抓住六边形的每个内家为120°这个特性,将其转化为特殊三角形(等边三角形),从而使问题得解. [例3] 如图3,P是等边三角形ABC内的一个点,PA=2,PB=2 ,PC=4.求△ABC的边长. [略解] 将△PAB绕点B逆时针旋转60°等到△HCB,再连接HP,如图3 易证△HPB为等边三角形,