初中数学竞赛指导：“数与式”竞赛问题的简单剖析

“数与式”竞赛问题的简单剖析 数与式是初中竞赛的主体内容之一，涉及到这部分内容的选择题、填空题特点是“小、巧、活”.复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握.[来源:学+科+网Z+X+X+K] 下面选取近几年的初中竞赛试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线，期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络. 数与式问题： 1.奇偶性分析、整除性分析 [例1]已知a、b、c中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3)，那么( ) A．S是偶数 B．S是奇数 C．S的奇偶性与n的奇偶性相同 D． S的奇偶性不能确定 [思路点拨] 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可． 依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)． ∵a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数， ∴a+b+c+6(n+1)为偶数 ∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数 ∴S是偶数．故选A． 注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数． [点评]近年来单独考查奇偶性的试题较少，多数是将奇偶性分析、整数问题融入到其他知识中去解决问题，是一个重要的“题眼”. [例2]方程的整数解(x，y)的个数是( )． (A)0 (B)1 (C)3 (D)无穷多 [解答]原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．故选(A). [点评]本题的“题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式”，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作整除性分析. 2.求代数式的值，着重于对代数式的整体处理 代数式的结构千变万化，我们便于解决的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构.常用方法有如下几种，简单罗列，供大家参考. (1)整体换元，整体化简、求值 [例3]若 ，则 的