初中数学竞赛指导：初中几何竞赛题的解法探究

初中几何竞赛题的解法探究 题目 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝1，点D在BC上，点E在AB上，使得△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，则BE长度为( ) (A)4－2 (B)2－ (C)（ －1） (D) －1 一、解题关键要素 在△ABC中，由∠C＝90°，∠A＝60°及AC＝1，知[来源:学科网ZXXK] ∠B＝30°，AB＝2，BC＝ ，[来源:学科网ZXXK] ∠DAC＋∠ADC＝90°． 又由∠ADE＝90°及AD＝DE，知[来源:学_科_网] ∠DEA＝∠DAE＝45°， ∠ADC＋∠BDE＝90°． ∴∠DAC＝∠BDE＝15°． ∠ADC＝75°． 这里，AD＝DE，LDAC＝∠BDE及30°和75°的角，都是解题的关键要素，是成功解题的入口！[来源:Z,xx,k.Com] 二、解题思路 1．利用AD＝DE及∠DAC＝∠BDE构造全等三角形 解法一 如图2，作EF⊥CB于点F． ∵AD＝DE，LDAC＝∠BDE， ∠ACD＝LDFE， ∴△ACD≌△DFE， ∴EF＝CD，DF＝AC＝1． 设CD＝x， Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴BE＝2x，BF＝ x， ∴AE＝2－x． ∵CD＋DF＋BF＝BC， ∴x＋1＋ x＝ ，解得x＝2－ ， ∴BE＝4－2 ． 解法二 延长AC到点F，使AF＝DB，连结DF． ∵AD＝DE，∠DAC＝∠BDE， ∴△ADF≌△DEB， ∴DF＝EB，∠F＝∠B． 设 CD＝x Rt△CDF中，∠F＝30°， ∴DF＝2x，CF＝ x， ∴BD＝1＋ x，[来源:Zxxk.Com] ∵CD＋BD＝BC， ∴x＋1＋ x＝ ，解得x＝2－ ， ∴BE＝4－2 ． 2．构造含30°的直角三角形 解法三 如图4，作DF⊥AB于点F． 在Rt△BDF中，∠B＝30°， 设DF＝x，则BF＝ x， 在等腰Rt△ADE中， AF＝DF＝x． ∵AF＋BF＝AB， ∴x＋ x＝2，解得x＝ －1，