初中数学竞赛指导：初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略(一) 方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。 一、知识要点 1.形如方程的解的讨论： ⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；             ②当≠0时，方程无解； ⑵若≠0，方程的解为=。     2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。 ⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。 ⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。 3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。 4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。 5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。   二、例题选讲 1.方程整数根的讨论 例1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是　　。 解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。 评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如： 类题 已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于(    )      A.1；      B.2；     C.±1；     D.±2. 分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得 ，或，或，或， 所以－=±1。   例2 已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。 解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。 ①当时，，符合题意；[来源:Z。xx。k.Com] ②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。设是方程的另一个整数根，由一元二次方程根与系数的关系得。因为是整数，所以±1，或±2，∴ =－1，0，2，3。 结合①、②得，本题符合条件的整数有5个。 评注：本例首先对项的系数是否为零进行了分类讨论。对于时方程解的讨论方法具有一般性，即由是整数判断得±