初中数学竞赛指导：含绝对值符号的方程问题

含绝对值符号的方程问题 绝对值是初中数学中的一个基本概念，在初中数学竞赛中时常出现它的身影，本文仅对含绝对值符号的方程问题进行方法解析，供参考． 1．用绝对值的非负性求解 例1 .已知实数x、y，z满足x＋y＝4， ＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______． 解 由x＋y＝4，得x＝4－y． 代入 ＝xy＋2y－9， 变形得 ＋（y－3）2＝0． 故z＝－1，y＝3， 进而x＝1， 所以x＋2y＋3z＝4． 2．用绝对值的意义求解[来源:学科网] 由 ＝a(a≥0)，得x＝±a．根据这一关系，往往可以解决只含有一个绝对值符号的问题． 例2关于x的方程 ＝1恰有3个不同的实数根，求m的值． 解 由 ＝1，得x2－mx＝±1． 对于方程x2－mx＝1． 整理得x2－mx－1＝0， 由于其△＝m2＋4>0， 故方程x2－mx＝1－定有两个不同的实数根． 又方程x2－mx＝1与方程x2－mx＝－1不会有相同的根， 所以根据 ＝1恰有3个不同的实数根，可知方程x2－mx＝－1有两个相等的实数根， 从而，△＝m2－4＝0， 解得m＝±2． 例3 方程 －a＝0恰有两个正数解，则a的取值范围是( ) (A)－1<a<0 (B)－1 <a <1 (C)0<a<1 (D)<a<1．[来源:Zxxk.Com] 分析 原方程变形，得 ＝a．为使它有两个正数解，首先需a>0，然后再解方程得x＝ ，保证这两个解均为正数即可． 解 因方程 －a＝0恰有两个正数解，所以 解得0<a<1，选C． 3．用绝对值的性质 ＝x2求解 例4若关于x的方程x2－(m＋5) ＋4＝m恰有3个实数解，则实数m＝______． 解 原方程变形： －(m＋5) ＋4－m＝0． 由于它恰有3个实数解， 所以 关于的一元二次方程 －(m＋5)＋4－m＝0必然有一个根是0，一个根是正实数．[来源:Z*xx*k.Com] 将 ＝0代入，得m＝4． 经验证m＝4符合题意． 4．用分类讨论法求解 分类讨论是去绝对值的一种有效方法，特