初中数学竞赛指导：数学竞赛中含绝对值问题

竞赛中含绝对值的问题 绝对值是初中代数中的一个基本概念，在竞赛中经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要注意知识的创新运用， 掌握好方法，顺利解决这些问题． 一、直接推理法 例1：已知 ， 则等于（ ） （A） .（B） .（C） .（D） . 解：因为 ，所以 同号.又因为 ，即 ，所以 必须同为负. 所以 . 答案为D.[来源:Zxxk.Com] 说明: 本题是直接利用有理数加法法则和有理数乘法法则确定字母符号. 二、巧用数轴法[来源:学_科_网Z_X_X_K] 例2:设有理数 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简 . 解: 由图可知， ，且 . 所以 ． 可得 ． 所以 原式= . 说明:本题是通过数轴，运用数形结合的方法确定字母的大小顺序，从而达到去掉绝对值的目的. 三、零点分段法 例3:已知 ，那么 的最大值等于 （ ） （A）1.（B）5.（C）8.（D）3. 解：(1)当 时， ， 在这一段内，当时 取得最大值，最大值是5;[来源:学*科*网Z*X*X*K] (2)当时， ; (3)当时， ， 在这一段内，当 时 取得最大值，最大值是3; 综上可知，当 时， 的最大值是5. 答案为B. 说明:本题是求两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的字母的值，这几个字母的值就是用以确定如何将字母的取值范围分段的零点. 四、分类讨论法 例4:如果 为互不相等的有理数，且 ，那么 等于（ ）[来源:学#科#网] （A）1.（B）2.（C）3.（D）4. [来源:Z.xx.k.Com] 解:已知 ，可设 ，由于 ，所以 与 必互为相反数(否则 ，不合题意)，即 .又因为 ，所以 . 由于 ，所以 与 必相等(否则 ，不合题意)，即 ，从而得 .因为 ，所以 . 因此有 . 所以 . 若设 ，同理可得 .答案为C. 说明:本例的解法是采取把b，c分为 和 两种情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．本题还可以分为 和 两种情况进行讨论，同学们不妨试一试. $$