初中数学竞赛指导：一个面积问题的求解、推广及应用

一个面积问题的求解、推广及应用 一、问题 如图1，△ABC的面积为1，D、E分别是AC、BC的中点，AE、BD交于点F，求四边形CDFE的面积． 解法1 连结CF． 设S△BEF = x，S△ADF = y， 则S△CEF = x，S△CDF = y 由S△BCD = S△AEC = ，得 ∴ [来源:学.科.网Z.X.X.K] ∴ S四边形CDFE= 解法2 连结DE．如图2所示，易得△CDE∽△CAB，△DEF∽△BAF， ∴ S△CDE = S△ABC = ． ∵△DEF与△BA F的相似比为1：2， 故设S△DEF = x，则S△ABF = 4x， S△ADF=S△BEF=2x， ∴ 4 x +2x+2x+x+ =1，解得x= ， ∴ S四边形CDFE= + = ． [来源:学§科§网Z§X§X§K] 解法3 ∵ D、E分别是AC、BC的中点， ∴ S△ACE = S△ABC = ． 又点F是△ABC的重心，于是， S△ACF = S△ACE = ， S△CEF = S△ACE = ， S△CDF = S△ACF = ， ∴ S四边形CDFE = S△CDF+S△CEF， = + = 思考 若把线段的中点拓展到三等分点、四等分点乃至n等分点，结果会如何呢? 推广 如图3，△ABC的面积为S，D1、D2、…、Di、Dn－2、Dn－1是AC的n等分点，E1、E2、…、Ej、…、Em－2、Em－1是BC的m等分点，AEj、BDi交于点F，求四边形CDiFj的面积． 解 连结CF，设S△AFDi = x，S△BFEj = y， 则S△CFDi = x， S△CFEi = y． 由S△BCDi = S， S△ACEj = S， 得 ∴ [来源:学科网ZXXK] ∴ S四边形CDiFEj = S△CFEj +S△CFDi = x+ y = S[来源:学科网] 二、应用 例1 如图4，△ABC的面积为1，BD：DC=2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为 解 参照上述推广，此时i=1，n=2，j=2，m=3，S=1，代入推广的公式